Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] আবার, [গণিত] [১ম ও ২য় সারির স্থান বিনিময়] [গণিত] L.H.S [গণিত] R. H. S (দেখানো হলো) অন্যভাবে, দৃশ্যকল্প-২ হতে, [গণিত] [কলাম ও সারির স্থান বিনিময় করে] [গণিত] [C ও [গণিত] এর স্থান বিনিময় করে] [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ ব্যবহার করে দেখাও যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : x−2y+2z=1x- 2y+ 2z=1 2x+6y−z=22 x+6 y-z=2 x+3y−3z=3x+3 y-3 z=3 দৃশ্যকল্প-২ : \Delta=\left|\[\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\]\right|, \Delta_{1}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \y z & z x & x y \x & y & z\end{array}\]\right|

Rajshahi · 2023

উত্তর

ধরি, A=\left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\]\right] \therefore A \times A=\left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\]\right] \times\left[\[\begin{array}{ll}2 & -1 \\ 3 & -2\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ll}4-3 & -2+2 \\ 6-6 & -3+4\end{array}\]\right] =\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right] =1=1 ∵A2=I\because \mathrm{A}^{2}=\mathrm{I}, তাই প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, x−2y+z=1x-2 y+z=1 2x+6y−z=22 x+6 y-z=2 x+3y−3z=3x+3 y-3 z=3 x,y,zx, y, z এর সহগের নির্ণায়ক D=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 2 & 6 & -1 \\ 1 & 3 & -3\end{array}\]\right|=1(-18+3)+2(-6+1)+2(6-6) =−15−10+0=−25≠0=-15-10+0=-25 \neq 0 ধ্রুবক পদ, y\mathrm{y} ও z এর সহগের নির্ণায়ক। D_{x}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 2 & 6 & -1 \\ 3 & 3 & -3\end{array}\]\right| =1(−18+3)+2(−6+3)+2(6−18)=1(-18+3)+2(-6+3)+2(6-18) =−15−6−24=-15-6-24 =−45=-45 x\mathrm{x} এর সহগ, ধ্রুবক পদ ও z এর সহগের নির্ণায়ক D_{y}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -3\end{array}\]\right| =1(−6+3)−i(−6+1)+2(6−2)=1(-6+3)-i(-6+1)+2(6-2) =−3+5+8=-3+5+8 =10=10 x ও y এর সহগ এবং ধ্রুবক পদের নির্ণায়ক D_{z}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 2 & 6 & 2 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\]\right| =1(18−6)+2(6−2)+1(6−6)=1(18-6)+2(6-2)+1(6-6) =12+8+0=12+8+0 =20=20 ∴x=DxD=−45−25=95\therefore x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{-45}{-25}=\frac{9}{5} ∴y=DyD=10−25=−25\therefore y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{10}{-25}=-\frac{2}{5} z=DzD=20−25=−45z=\frac{D_{z}}{D}=\frac{20}{-25}=-\frac{4}{5} ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান : (x,y,z)=(95,−25,−45)(x, y, z)=\left(\frac{9}{5},-\frac{2}{5},-\frac{4}{5}\right)

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, \Delta=\left|\[\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\]\right|, \Delta_{1}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \y z & z x & x y \x & y & z\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}0 & x-y & x^{2}-y^{2} \\ 0 & y-z & y^{2}-z^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\]\right| r_{1}^{\prime}=r_{1}-r_{2,}, r_{2}^{\prime}=r_{2}-r_{3} =0−0+1{(x−y)(y2−z2)−(x2−y2)(y−z)}=0-0+1\left\{(x-y)\left(y^{2}-z^{2}\right)-\left(x^{2}-y^{2}\right)(y-z)\right\} =(x−y)(y+z)(y−z)−(x+y)(x−y)(y−z)=(x-y)(y+z)(y-z)-(x+y)(x-y)(y-z) =(x−y)(y−z)(y+z−x−y)=(x-y)(y-z)(y+z-x-y) ∴Δ=(x−y)(y−z)(z−x)\therefore \Delta=(x-y)(y-z)(z-x) আবার, \Delta_{1}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \y z & z x & x y \x & y & z\end{array}\]\right| =\frac{1}{x y z}\left|\[\begin{array}{ccc}x & y & z \x y z & x y z & x y z \x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{ccc}x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\]\right| =-\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \x & y & z \x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\]\right| [১ম ও ২য় সারির স্থান বিনিময়] =-\left|\[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \x-y & y-z & z \x^{2}-y^{2} & y^{2}-z^{2} & z^{2}\end{array}\]\right| \[\begin{gathered}c_{1}^{\prime}=c_{1}-c_{2} \c_{2}^{\prime}=c_{2}-c_{3}\end{gathered}\] =−[0−0+1{(x−y)(y2−z2)−(y−z),(x2−y2)}]=-\left[0-0+1\left\{(x-y)\left(y^{2}-z^{2}\right)-(y-z),\left(x^{2}-y^{2}\right)\right\}\right] =−[(x−y)(y+z)(y−z)−(y−z)(x+y)(x−y)]=-[(x-y)(y+z)(y-z)-(y-z)(x+y)(x-y)] =−[[(x−y)(y−z)⋅(y+z−x−y)]=-[[(x-y)(y-z) \cdot(y+z-x-y)] ∴Δ1=−(x−y)(y−z)(z−x)\therefore \Delta_{1}=-(x-y)(y-z)(z-x) ∴\therefore L.H.S =Δ1+Δ1=\Delta_{1}+\Delta_{1} =(x−y)(y−z)(z−x)−(x−y)(y−z)(z−x)=(x-y)(y-z)(z-x)-(x-y)(y-z)(z-x) =0=0 == R. H. S (দেখানো হলো) অন্যভাবে, দৃশ্যকল্প-২ হতে, \Delta_{1}=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \y z & z x & x y \x & y & z\end{array}\]\right|, \Delta=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\]\right| [কলাম ও সারির স্থান বিনিময় করে] =\frac{1}{x y z}\left|\[\begin{array}{ccc}x & x y z & x^{2} \y & x y z & y^{2} \z & x y z & z^{2}\end{array}\]\right| =\frac{x y z}{x y z}\left|\[\begin{array}{ccc}x & 1 & x^{2} \y & 1 & y^{2} \z & 1 & z^{2}\end{array}\]\right| =-\left|\[\begin{array}{lll}1 & x & x^{2} \\ 1 & y & y^{2} \\ 1 & z & z^{2}\end{array}\]\right| [C ও C1C2C_{1} C_{2} এর স্থান বিনিময় করে] ⇒Δ1=−Δ\Rightarrow \Delta_{1}=-\Delta ∴Δ1+Δ=0\therefore \Delta_{1}+\Delta=0 (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন