Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণায়করে সাহায্যে সমাধান কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রথমে [গণিত] এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স [গণিত] নির্ণয় করি: [গণিত] শর্তমতে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে আমরা পাই: [গণিত] এখন ক্রেমারের নিয়ম বা নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান করি: সহকগুলো নিয়ে গঠিত মূল নির্ণায়ক, [গণিত] : [গণিত] (যেহেতু [গণিত] , তাই সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান আছে)। [গণিত] এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, [গণিত] : [গণিত] এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, [গণিত] : [গণিত] এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, [গণিত] : [গণিত] ক্রেমারের সূত্রানুসারে: [গণিত] নির্ণেয় সমাধান [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

থেকে প্রাপ্ত সমীকরণ জোটকে নির্ণায়করে সাহায্যে সমাধান কর।

উদ্দীপক

P=\left(\[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5\end{array}\]\right), Q=\left(\[\begin{array}{l}6 \\ 9 \\ 0\end{array}\]\right), R=\left(\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \mathrm{z}\end{array}\]\right)

Jessore · 2022

উত্তর

দুটি ম্যাট্রিক্স গুণ করার জন্য গুণনযোগ্যতার শর্ত হলো—প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হতে হবে। ধরি, AA একটি ম্যাট্রিক্স যার আকার m×nm \times n এবং BB অপর একটি ম্যাট্রিক্স যার আকার n×pn \times p। যেহেতু প্রথম ম্যাট্রিক্স AA এর কলাম সংখ্যা (nn) এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স BB এর সারি সংখ্যা (nn) পরস্পর সমান, সেহেতু এদের গুণফল ABAB নির্ণয়যোগ্য। নতুন গুণিতক ম্যাট্রিক্স ABAB এর আকার হবে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলামের গুণফল অর্থাৎ m×pm \times p।

উত্তর

দেওয়া আছে, P = \[\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}\] এবং f(x)=x2−3xf(x) = x^2 - 3x আমাদের f(P)f(P) এর মান নির্ণয় করতে হবে। বহুপদীর নিয়ম অনুযায়ী ধ্রুবক পদের সাথে একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স (I3I_3) যুক্ত হবে: f(P)=P2−3Pf(P) = P^2 - 3P প্রথমে P2=P×PP^2 = P \times P নির্ণয় করি: P^2 = \[\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 1+5+3 & 5-5+6 & 3+30-15 \\ 1-1+6 & 5+1+12 & 3-6-30 \\ 1+2-5 & 5-2-10 & 3+12+25 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 9 & 6 & 18 \\ 6 & 18 & -33 \\ -2 & -7 & 40 \end{bmatrix}\] এখন, f(P)=P2−3Pf(P) = P^2 - 3P এ মান বসিয়ে পাই: f(P) = \[\begin{bmatrix} 9 & 6 & 18 \\ 6 & 18 & -33 \\ -2 & -7 & 40 \end{bmatrix}\] - 3 \[\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 9 & 6 & 18 \\ 6 & 18 & -33 \\ -2 & -7 & 40 \end{bmatrix}\] - \[\begin{bmatrix} 3 & 15 & 9 \\ 3 & -3 & 18 \\ 3 & 6 & -15 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 9-3 & 6-15 & 18-9 \\ 6-3 & 18-(-3) & -33-18 \\ -2-3 & -7-6 & 40-(-15) \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 6 & -9 & 9 \\ 3 & 21 & -51 \\ -5 & -13 & 55 \end{bmatrix}\] f(P) = \[\begin{bmatrix} 6 & -9 & 9 \\ 3 & 21 & -51 \\ -5 & -13 & 55 \end{bmatrix}\]

উত্তর

দেওয়া আছে, P = \[\begin{bmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 1 & -1 & 6 \\ 1 & 2 & -5 \end{bmatrix}\], \Q = \[\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix}\], \R = \[\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}\] প্রথমে PP এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স PTP^T নির্ণয় করি: P^T = \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \end{bmatrix}\] শর্তমতে, PTR=QP^T R = Q \Rightarrow \[\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix}\] \Rightarrow \[\begin{bmatrix} x + y + z \\ 5x - y + 2z \\ 3x + 6y - 5z \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 0 \end{bmatrix}\] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে আমরা পাই: x+y+z=6……(1)x + y + z = 6 \dots \dots (1) 5x−y+2z=9……(2)5x - y + 2z = 9 \dots \dots (2) 3x+6y−5z=0……(3)3x + 6y - 5z = 0 \dots \dots (3) এখন ক্রেমারের নিয়ম বা নির্ণায়কের সাহায্যে সমাধান করি: সহকগুলো নিয়ে গঠিত মূল নির্ণায়ক, DD: D = \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 5 & -1 & 2 \\ 3 & 6 & -5 \end{vmatrix}\] =1{(−1)(−5)−(2)(6)}−1{(5)(−5)−(2)(3)}+1{(5)(6)−(−1)(3)}= 1\{(-1)(-5) - (2)(6)\} - 1\{(5)(-5) - (2)(3)\} + 1\{(5)(6) - (-1)(3)\} =1(5−12)−1(−25−6)+1(30+3)= 1(5 - 12) - 1(-25 - 6) + 1(30 + 3) =1(−7)−1(−31)+1(33)= 1(-7) - 1(-31) + 1(33) =−7+31+33=57= -7 + 31 + 33 = 57 (যেহেতু D≠0D \neq 0, তাই সমীকরণ জোটের অনন্য সমাধান আছে)। xx এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, DxD_x: D_x = \[\begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 9 & -1 & 2 \\ 0 & 6 & -5 \end{vmatrix}\] =6{(−1)(−5)−(2)(6)}−1{(9)(−5)−(2)(0)}+1{(9)(6)−(−1)(0)}= 6\{(-1)(-5) - (2)(6)\} - 1\{(9)(-5) - (2)(0)\} + 1\{(9)(6) - (-1)(0)\} =6(5−12)−1(−45)+1(54)= 6(5 - 12) - 1(-45) + 1(54) =6(−7)+45+54= 6(-7) + 45 + 54 =−42+99=57= -42 + 99 = 57 yy এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, DyD_y: D_y = \[\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 5 & 9 & 2 \\ 3 & 0 & -5 \end{vmatrix}\] =1{(9)(−5)−(2)(0)}−6{(5)(−5)−(2)(3)}+1{(5)(0)−(9)(3)}= 1\{(9)(-5) - (2)(0)\} - 6\{(5)(-5) - (2)(3)\} + 1\{(5)(0) - (9)(3)\} =1(−45)−6(−25−6)+1(−27)= 1(-45) - 6(-25 - 6) + 1(-27) =−45−6(−31)−27= -45 - 6(-31) - 27 =−45+186−27=114= -45 + 186 - 27 = 114 zz এর সহগের কলামকে ধ্রুবক পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করে পাই, DzD_z: D_z = \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 5 & -1 & 9 \\ 3 & 6 & 0 \end{vmatrix}\] =1{(−1)(0)−(9)(6)}−1{(5)(0)−(9)(3)}+6{(5)(6)−(−1)(3)}= 1\{(-1)(0) - (9)(6)\} - 1\{(5)(0) - (9)(3)\} + 6\{(5)(6) - (-1)(3)\} =1(−54)−1(−27)+6(30+3)= 1(-54) - 1(-27) + 6(30 + 3) =−54+27+6(33)= -54 + 27 + 6(33) =−27+198=171= -27 + 198 = 171 ক্রেমারের সূত্রানুসারে: x=DxD=5757=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{57}{57} = 1 y=DyD=11457=2y = \frac{D_y}{D} = \frac{114}{57} = 2 z=DzD=17157=3z = \frac{D_z}{D} = \frac{171}{57} = 3 নির্ণেয় সমাধান (x,y,z)=(1,2,3)(x, y, z) = (1, 2, 3)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন