Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকে বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] সমীকরণ গুলিকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করলে, [গণিত] ধরি, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

উদ্দীপকে বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উদ্দীপক

A^{-1}=\[\begin{bmatrix}2 & -1 & 1\\ 3 & 0 & -2\\ 1 & -4 & 1\end{bmatrix}\] x5−−2y5+z=1\frac{x}{5}-\frac{-2 y}{5}+z=1 x+y4+3z4=1x+\frac{y}{4}+\frac{3 z}{4}=1 x3−y+2z3=1\frac{x}{3}-y+\frac{2 z}{3}=1

Dinajpur · 2022

উত্তর

ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্র:মী হলে নির্ণয়কের মান ঋন্য হবে, ∣B∣=0|\mathrm{B}|=0 \therefore|\mathrm{B}|=\left|\[\begin{array}{cr}\mathrm{k}+4 & 3 \\4 & 4\end{array}\]\right|=0 ⇒4(k+4)−12=0\Rightarrow 4(\mathrm{k}+4)-12=0 4k+16−12=0\quad 4 \mathrm{k}+16-12=0 ∴K=−1\therefore \mathrm{K}=-1 (ans)

উত্তর

A-1 ম্যাট্রিক্স এর বীপরতি ম্যাট্রিক্সটিই হবে A ম্যাট্রিক্স [বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যামান] ,এখন∣A−1∣=2(0−8)+(−1)(−2−3)+1(−12−0)=−23≠0, এখন \left|A^{-1}\right|=2(0-8)+(-1)(-2-3)+1(-12-0)=-23 \neq 0 এখানে, A11−1=(0−8)=−8A_{11}^{-1}=(0-8)=-8 A−112=(−2−3)=−5\mathrm{A}^{-1} 12=(-2-3)=-5  A−113=(−12−0)=−12\mathrm{~A}^{-1} 13=(-12-0)=-12  A−121=(−4+1)=−3\mathrm{~A}^{-1} 21=(-4+1)=-3  A−122=2−1=1\mathrm{~A}^{-1} 22=2-1=1  A−123=−1+8=7\mathrm{~A}^{-1} 23=-1+8=7 ∴A=1∣A−1∣adj⁡(A−1)\therefore A=\frac{1}{\left|A^{-1}\right|} \operatorname{adj}\left(A^{-1}\right) =\frac{1}{-23}\left|\[\begin{array}{ccc}-8 & -3 & 2 \\-5 & 1 & 7 \\-12 & 7 & 3\end{array}\]\right| =\left|\[\begin{array}{lll}\frac{8}{23} & \frac{3}{23} & \frac{-2}{23} \frac{5}{23} & \frac{-1}{23} & \frac{-7}{23} \frac{12}{23} & \frac{-7}{23} & \frac{-3}{23}\end{array}\]\right|

উত্তর

দেওয়া আছে, xz−zy3+z=1………….( (i) \frac{x}{z}-\frac{z y}{3}+z=1 \ldots \ldots \ldots \ldots.(\text{ (i) } x+14y+z4z=1…………. (ii) x+\frac{1}{4} y+\frac{z}{4} z=1 \ldots \ldots \ldots\ldots. \text{ (ii) } xz−y+zzz=1…………….. (iii) \frac{x}{z}-y+\frac{z}{z} z=1 \ldots \ldots \ldots \ldots\ldots.. \text{ (iii) } সমীকরণ গুলিকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করলে, \left|\[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5} & -\frac{2}{5} & 1 \\1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \frac{1}{3} & -1 & \frac{2}{3}\end{array}\]\right]\left|\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right|=\left|\[\begin{array}{l}1 \\1 \\1\end{array}\]\right| ধরি, A×=BA \times=B ∴A×=B\therefore A \times \quad=B এখন, D-|A|=\left|\[\begin{array}{ccc}\frac{1}{5} & \frac{-2}{5} & 1 \\1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \frac{1}{3} & -1 & \frac{2}{3}\end{array}\]\right| =15(212+34)(−25)×(312−23)+1(−1−212)=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{12}+\frac{3}{4}\right)\left(\frac{-2}{5}\right) \times\left(\frac{3}{12}-\frac{2}{3}\right)+1\left(-1 \frac{-2}{12}\right) =15×112+−25×−512−1312=\frac{1}{5} \times \frac{1}{12}+\frac{-2}{5} \times \frac{-5}{12}-\frac{13}{12} =11+10−6560=\frac{11+10-65}{60} =−4460=−1115=\frac{-44}{60}=\frac{-11}{15} D_x=\left|\[\begin{array}{ccc}1 & \frac{-2}{5} & 1 \\1 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\1 & -1 & \frac{2}{3}\end{array}\]\right|=1\left(\frac{2}{12}+\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{-2}{5}\right)\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)+1\left(-1-\frac{1}{4}\right) =2+822+−23×112+−54=\frac{2+8}{22}+\frac{-2}{3} \times \frac{1}{12}+\frac{-5}{4} =1112−260−54=\frac{11}{12}-\frac{2}{60}-\frac{5}{4} =ss−2−7s40=\frac{s s-2-7 s}{40} =−1120=\frac{-11}{20} \begin{aligned} & D_y=\left|\begin{array}{ccc}1 / 5 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \frac{3}{4} \\ 1 / 3 & 1 & 2 / 3\end{aligned}\right|=\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{4}\right)+1\left(\frac{3}{12}-\frac{2}{3}\right)+1\left(1-\frac{1}{3}\right) \\ & =\frac{1}{5} \times \frac{-1}{12}+\frac{3-8}{12}+\frac{2}{3} \\ & =\frac{-1}{60}-\frac{5}{12}+\frac{2}{3} \\ & =\frac{-1-25+40}{60}=\frac{14}{60}=\frac{7}{30} \\ & D_z=\left|\[\begin{array}{ccc}1 / 5 & -2 / 5 & 1 \\ 1 & 1 / 4 & 1 \\ 1 / 3 & -1 & 1\end{array}\]\right|=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{4}+1\right)+\left(\frac{-2}{5}\right)\left(\frac{1}{3}-1\right)+1\left(-1-\frac{1}{12}\right) \\ & =\frac{15}{5} \frac{5}{4}+\frac{-2}{5} \times \frac{-2}{3}+\frac{-13}{12} \\ & =\frac{1}{4}+\frac{4}{15}-\frac{13}{12} \\ & =\frac{15+16-65}{60}=\frac{-17}{30} \\ & \mathrm{x}=\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{D}}=\frac{-11 / 30}{-11 / 15}=1 / 2 \\ & \mathrm{y}=\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{D}}=\frac{7 / 30}{-11 / 15}=\frac{-7}{22} \\ & z=\frac{D_z}{D}=\frac{-17 / 30}{-11 / 15}=\frac{17}{22} \\ & \end{aligned} \end{array}\end{array}
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন