Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে AX = B সমীকরণ জোট সমাধান কর।

উত্তর: ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে [গণিত] সমীকরণ জোট সমাধান: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রশ্নমতে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে আমরা সমীকরণ জোট পাই: [গণিত] এখন [গণিত] এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, [গণিত] : [গণিত] (যেহেতু [গণিত] , তাই সমীকরণ জোটটির অনন্য সমাধান আছে) [গণিত] এর সহগগুলোর কলামকে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাই: [গণিত] এর সহগগুলোর কলামকে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাই: [গণিত] এর সহগগুলোর কলামকে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাই: [গণিত] ক্রেমারের সূত্রানুসারে: [গণিত] উত্তর: নির্ণেয় সমাধান [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে AX = B সমীকরণ জোট সমাধান কর।

উদ্দীপক

A=\left[\[\begin{array}{ccc}4 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -4 & -9\end{array}\]\right], X=\left[\[\begin{array}{l}x \y \z\end{array}\]\right], B=\left[\[\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 4\end{array}\]\right] এবং F(x)=x3−2x2+x−2IF(x)=x^{3}-2 x^{2}+x-2I, যেখানে II অভেদ ম্যাট্রিক্স।

Jessore · 2021

উত্তর

মনে করি, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স, C = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\] আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স CC অভেদঘাতী (involutory) হবে যদি C2=IC^2 = I হয়। এখন, C^2 = C \times C = \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} (2)(2) + (3)(-1) & (2)(3) + (3)(-2) \\ (-1)(2) + (-2)(-1) & (-1)(3) + (-2)(-2) \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 4 - 3 & 6 - 6 \\ -2 + 2 & -3 + 4 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\] =I2= I_2 যেহেতু C2=IC^2 = I, তাই বলা যায় প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি অভেদঘাতী (involutory) ম্যাট্রিক্স।

উত্তর

F(AT)F(A^T) নির্ণয় কর। দেওয়া আছে, A = \[\begin{bmatrix} 4 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -4 & -9 \end{bmatrix}\] এবং F(x)=x3−2x2+x−2IF(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2I AA এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স, A^T = \[\begin{bmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -9 \end{bmatrix}\] ধরি, AT=PA^T = P সুতরাং, আমাদের F(P)=P3−2P2+P−2IF(P) = P^3 - 2P^2 + P - 2I এর মান নির্ণয় করতে হবে। এখন, P^2 = P \times P = \[\begin{bmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -9 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -9 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 16-2+15 & -8+2-9 & 12+8-27 \\ 4-1-20 & -2+1+12 & 3+4+36 \\ 20-3-45 & -10+3+27 & 15+12+81 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 29 & -15 & -7 \\ -17 & 11 & 43 \\ -28 & 20 & 108 \end{bmatrix}\] আবার, P^3 = P^2 \times P = \[\begin{bmatrix} 29 & -15 & -7 \\ -17 & 11 & 43 \\ -28 & 20 & 108 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -9 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 116-15-35 & -58+15+21 & 87+60+63 \\ -68+11+215 & 34-11-129 & -51-44-387 \\ -112+20+540 & 56-20-324 & -84-80-972 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 66 & -22 & 210 \\ 158 & -106 & -482 \\ 448 & -288 & -1136 \end{bmatrix}\] এখন প্রদত্ত রাশিতে মান বসিয়ে পাই: F(P)=P3−2P2+P−2IF(P) = P^3 - 2P^2 + P - 2I = \[\begin{bmatrix} 66 & -22 & 210 \\ 158 & -106 & -482 \\ 448 & -288 & -1136 \end{bmatrix}\] - 2\[\begin{bmatrix} 29 & -15 & -7 \\ -17 & 11 & 43 \\ -28 & 20 & 108 \end{bmatrix}\] + \[\begin{bmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -9 \end{bmatrix}\] - 2\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 66 & -22 & 210 \\ 158 & -106 & -482 \\ 448 & -288 & -1136 \end{bmatrix}\] - \[\begin{bmatrix} 58 & -30 & -14 \\ -34 & 22 & 86 \\ -56 & 40 & 216 \end{bmatrix}\] + \[\begin{bmatrix} 4 & -2 & 3 \\ 1 & -1 & -4 \\ 5 & -3 & -9 \end{bmatrix}\] - \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\] এখন অনুরূপ ভুক্তিগুলো যোগ-বিয়োগ করে পাই: = \[\begin{bmatrix} 66 - 58 + 4 - 2 & -22 + 30 - 2 - 0 & 210 + 14 + 3 - 0 \\ 158 + 34 + 1 - 0 & -106 - 22 - 1 - 2 & -482 - 86 - 4 - 0 \\ 448 + 56 + 5 - 0 & -288 - 40 - 3 - 0 & -1136 - 216 - 9 - 2 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 10 & 6 & 227 \\ 193 & -131 & -572 \\ 509 & -331 & -1363 \end{bmatrix}\] উত্তর: F(A^T) = \[\begin{bmatrix} 10 & 6 & 227 \\ 193 & -131 & -572 \\ 509 & -331 & -1363 \end{bmatrix}\]

উত্তর

ক্রেমারের সূত্রের সাহায্যে AX=BAX = B সমীকরণ জোট সমাধান: দেওয়া আছে, A = \[\begin{bmatrix} 4 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -4 & -9 \end{bmatrix}\], X = \[\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}\], B = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}\] প্রশ্নমতে, AX=BAX = B \Rightarrow \[\begin{bmatrix} 4 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -4 & -9 \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} x \y \z \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}\] \Rightarrow \[\begin{bmatrix} 4x + y + 5z \\ -2x - y - 3z \\ 3x - 4y - 9z \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 4 \end{bmatrix}\] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে আমরা সমীকরণ জোট পাই: 4x+y+5z=24x + y + 5z = 2 −2x−y−3z=5-2x - y - 3z = 5 3x−4y−9z=43x - 4y - 9z = 4 এখন x,y,zx, y, z এর সহগগুলো নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক, DD: D = \[\begin{vmatrix} 4 & 1 & 5 \\ -2 & -1 & -3 \\ 3 & -4 & -9 \end{vmatrix}\] =4(9−12)−1(18−(−9))+5(8−(−3))= 4(9 - 12) - 1(18 - (-9)) + 5(8 - (-3)) =4(−3)−1(27)+5(11)= 4(-3) - 1(27) + 5(11) =−12−27+55= -12 - 27 + 55 =16= 16 (যেহেতু D≠0D \neq 0, তাই সমীকরণ জোটটির অনন্য সমাধান আছে) xx এর সহগগুলোর কলামকে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাই: D_x = \[\begin{vmatrix} 2 & 1 & 5 \\ 5 & -1 & -3 \\ 4 & -4 & -9 \end{vmatrix}\] =2(9−12)−1(−45−(−12))+5(−20−(−4))= 2(9 - 12) - 1(-45 - (-12)) + 5(-20 - (-4)) =2(−3)−1(−33)+5(−16)= 2(-3) - 1(-33) + 5(-16) =−6+33−80= -6 + 33 - 80 =−53= -53 yy এর সহগগুলোর কলামকে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাই: D_y = \[\begin{vmatrix} 4 & 2 & 5 \\ -2 & 5 & -3 \\ 3 & 4 & -9 \end{vmatrix}\] =4(−45−(−12))−2(18−(−9))+5(−8−15)= 4(-45 - (-12)) - 2(18 - (-9)) + 5(-8 - 15) =4(−33)−2(27)+5(−23)= 4(-33) - 2(27) + 5(-23) =−132−54−115= -132 - 54 - 115 =−301= -301 zz এর সহগগুলোর কলামকে ধ্রুবক দ্বারা প্রতিস্থাপিত করে পাই: D_z = \[\begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 \\ -2 & -1 & 5 \\ 3 & -4 & 4 \end{vmatrix}\] =4(−4−(−20))−1(−8−15)+2(8−(−3))= 4(-4 - (-20)) - 1(-8 - 15) + 2(8 - (-3)) =4(16)−1(−23)+2(11)= 4(16) - 1(-23) + 2(11) =64+23+22= 64 + 23 + 22 =109= 109 ক্রেমারের সূত্রানুসারে: x=DxD=−5316x = \frac{D_x}{D} = \frac{-53}{16} y=DyD=−30116y = \frac{D_y}{D} = \frac{-301}{16} z=DzD=10916z = \frac{D_z}{D} = \frac{109}{16} উত্তর: নির্ণেয় সমাধান (x,y,z)=(−5316,−30116,10916)(x, y, z) = \left( \frac{-53}{16}, \frac{-301}{16}, \frac{109}{16} \right)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন