Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ, L.H.S [গণিত] নির্ণায়কের ধর্ম অনুসারে ২য় সারিকে ভেঙে দুটি নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করে পাই: [গণিত] প্রথম নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম হতে যথাক্রমে [গণিত] কমন নিয়ে পাই: [গণিত] এখন উভয় নির্ণায়কের সারিগুলো এমনভাবে পরিবর্তন করব যেন তা একই আকৃতি ধারণ করে। (বি.দ্র. পাশাপাশি দুটি সারি পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের মান [গণিত] দ্বারা গুণ হয়)। ১ম নির্ণায়কে [গণিত] ও [গণিত] বিনিময় করে এবং ২য় নির্ণায়কে [গণিত] ও [গণিত] বিনিময় করে পাই: [গণিত] এখন, [গণিত] এবং [গণিত] প্রয়োগ করে পাই: [গণিত] ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই: [গণিত] ১ম কলাম হতে [গণিত] এবং ২য় কলাম হতে [গণিত] কমন নিয়ে পাই: [গণিত] নির্ণায়কের মান বের করে পাই: [গণিত] (Proved)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, det⁡(A)=−(2xyz+1)(x−y)(y−z)(z−x)\det(A) = -(2xyz+1)(x-y)(y-z)(z-x)

উত্তর

দেওয়া আছে, A = \[\begin{bmatrix} x & y & z \\ 2x^3+1 & 2y^3+1 & 2z^3+1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{bmatrix}\] বামপক্ষ, L.H.S = \det(A) = \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 2x^3+1 & 2y^3+1 & 2z^3+1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] নির্ণায়কের ধর্ম অনুসারে ২য় সারিকে ভেঙে দুটি নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করে পাই: = \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 2x^3 & 2y^3 & 2z^3 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] + \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] প্রথম নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম হতে যথাক্রমে 2x,2y,2z2x, 2y, 2z কমন নিয়ে পাই: = 2xyz \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x^2 & y^2 & z^2 \x & y & z \end{vmatrix}\] + \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] এখন উভয় নির্ণায়কের সারিগুলো এমনভাবে পরিবর্তন করব যেন তা একই আকৃতি ধারণ করে। (বি.দ্র. পাশাপাশি দুটি সারি পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের মান (−)(-) দ্বারা গুণ হয়)। ১ম নির্ণায়কে r2r_2 ও r3r_3 বিনিময় করে এবং ২য় নির্ণায়কে r1r_1 ও r2r_2 বিনিময় করে পাই: = 2xyz \left( - \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] \right) + \left( - \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] \right) = -2xyz \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] - \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] = -(2xyz + 1) \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] এখন, c1′=c1−c2c_1' = c_1 - c_2 এবং c2′=c2−c3c_2' = c_2 - c_3 প্রয়োগ করে পাই: = -(2xyz + 1) \[\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \x-y & y-z & z \x^2-y^2 & y^2-z^2 & z^2 \end{vmatrix}\] ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই: = -(2xyz + 1) \cdot 1 \cdot \[\begin{vmatrix} x-y & y-z \\ (x+y)(x-y) & (y+z)(y-z) \end{vmatrix}\] ১ম কলাম হতে (x−y)(x-y) এবং ২য় কলাম হতে (y−z)(y-z) কমন নিয়ে পাই: = -(2xyz + 1)(x-y)(y-z) \[\begin{vmatrix} 1 & 1 \x+y & y+z \end{vmatrix}\] নির্ণায়কের মান বের করে পাই: =−(2xyz+1)(x−y)(y−z){1(y+z)−1(x+y)}= -(2xyz + 1)(x-y)(y-z) \{ 1(y+z) - 1(x+y) \} =−(2xyz+1)(x−y)(y−z)(y+z−x−y)= -(2xyz + 1)(x-y)(y-z)(y+z-x-y) =−(2xyz+1)(x−y)(y−z)(z−x)= -(2xyz+1)(x-y)(y-z)(z-x) =R.H.S= \text{R.H.S} (Proved)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন