Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

এমন ম্যাট্রিক্স C নির্ণয় কর যেন BC [গণিত] হয়।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এমন একটি ম্যাট্রিক্স [গণিত] নির্ণয় করতে হবে যেন [গণিত] হয়। সংজ্ঞানুসারে, কোনো ম্যাট্রিক্সকে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে অভেদ ম্যাট্রিক্স ( [গণিত] ) পাওয়া যায়। অতএব, [গণিত] প্রথমে [গণিত] ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান বের করি: [গণিত] যেহেতু [গণিত] , তাই বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়যোগ্য। এখন [গণিত] ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলো (Cofactors) নির্ণয় করি: [গণিত] সহগুণকগুলো দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স: [গণিত] অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, [গণিত] হবে সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ: [গণিত] আমরা জানি, বিপরীত ম্যাট্রিক্স, [গণিত] নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স, [গণিত]

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল

এমন ম্যাট্রিক্স C নির্ণয় কর যেন BC হয়।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: A=\left[\[\begin{array}{ccc}x & y & z \\ 2 x^{3}+1 & 2 y^{3}+1 & 2 z^{3}+1 \x^{2} & y^{2} & z^{2}\end{array}\]\right] B=\left[\[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\1 & 3 & 1 \\1 & 2 & 1\end{array}\]\right]

Jessore · 2021

উত্তর

মনে করি, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স, P = \[\begin{bmatrix} 0 & 2 & m \\ -2 & 0 & 3 \\ 4 & -3 & 0 \end{bmatrix}\] আমরা জানি, কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্স PP বিপ্রতিসম (skew-symmetric) হবে যদি PT=−PP^T = -P হয়। এখানে, P^T = \[\begin{bmatrix} 0 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & -3 \m & 3 & 0 \end{bmatrix}\] এবং -P = \[\begin{bmatrix} 0 & -2 & -m \\ 2 & 0 & -3 \\ -4 & 3 & 0 \end{bmatrix}\] শর্তমতে, PT=−PP^T = -P \Rightarrow \[\begin{bmatrix} 0 & -2 & 4 \\ 2 & 0 & -3 \m & 3 & 0 \end{bmatrix}\] = \[\begin{bmatrix} 0 & -2 & -m \\ 2 & 0 & -3 \\ -4 & 3 & 0 \end{bmatrix}\] ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে অনুরূপ ভুক্তিগুলো (Elements) সমান হবে। সুতরাং ৩য় সারির ১ম কলামের উপাদান তুলনা করে পাই: m=−4m = -4

উত্তর

দেওয়া আছে, A = \[\begin{bmatrix} x & y & z \\ 2x^3+1 & 2y^3+1 & 2z^3+1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{bmatrix}\] বামপক্ষ, L.H.S = \det(A) = \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 2x^3+1 & 2y^3+1 & 2z^3+1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] নির্ণায়কের ধর্ম অনুসারে ২য় সারিকে ভেঙে দুটি নির্ণায়কের যোগফলরূপে প্রকাশ করে পাই: = \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 2x^3 & 2y^3 & 2z^3 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] + \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] প্রথম নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় কলাম হতে যথাক্রমে 2x,2y,2z2x, 2y, 2z কমন নিয়ে পাই: = 2xyz \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x^2 & y^2 & z^2 \x & y & z \end{vmatrix}\] + \[\begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 1 & 1 \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] এখন উভয় নির্ণায়কের সারিগুলো এমনভাবে পরিবর্তন করব যেন তা একই আকৃতি ধারণ করে। (বি.দ্র. পাশাপাশি দুটি সারি পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের মান (−)(-) দ্বারা গুণ হয়)। ১ম নির্ণায়কে r2r_2 ও r3r_3 বিনিময় করে এবং ২য় নির্ণায়কে r1r_1 ও r2r_2 বিনিময় করে পাই: = 2xyz \left( - \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] \right) + \left( - \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] \right) = -2xyz \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] - \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] = -(2xyz + 1) \[\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \x & y & z \x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix}\] এখন, c1′=c1−c2c_1' = c_1 - c_2 এবং c2′=c2−c3c_2' = c_2 - c_3 প্রয়োগ করে পাই: = -(2xyz + 1) \[\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \x-y & y-z & z \x^2-y^2 & y^2-z^2 & z^2 \end{vmatrix}\] ১ম সারির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই: = -(2xyz + 1) \cdot 1 \cdot \[\begin{vmatrix} x-y & y-z \\ (x+y)(x-y) & (y+z)(y-z) \end{vmatrix}\] ১ম কলাম হতে (x−y)(x-y) এবং ২য় কলাম হতে (y−z)(y-z) কমন নিয়ে পাই: = -(2xyz + 1)(x-y)(y-z) \[\begin{vmatrix} 1 & 1 \x+y & y+z \end{vmatrix}\] নির্ণায়কের মান বের করে পাই: =−(2xyz+1)(x−y)(y−z){1(y+z)−1(x+y)}= -(2xyz + 1)(x-y)(y-z) \{ 1(y+z) - 1(x+y) \} =−(2xyz+1)(x−y)(y−z)(y+z−x−y)= -(2xyz + 1)(x-y)(y-z)(y+z-x-y) =−(2xyz+1)(x−y)(y−z)(z−x)= -(2xyz+1)(x-y)(y-z)(z-x) =R.H.S= \text{R.H.S} (Proved)

উত্তর

দেওয়া আছে, B = \[\begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}\] এমন একটি ম্যাট্রিক্স CC নির্ণয় করতে হবে যেন BC=CB=I3BC = CB = I_3 হয়। সংজ্ঞানুসারে, কোনো ম্যাট্রিক্সকে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করলে অভেদ ম্যাট্রিক্স (II) পাওয়া যায়। অতএব, C=B−1C = B^{-1} প্রথমে BB ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান বের করি: ∣B∣=2(3−2)−0+(−1)(2−3)\vert{}B\vert{} = 2(3 - 2) - 0 + (-1)(2 - 3) =2(1)−0−1(−1)= 2(1) - 0 - 1(-1) =2+1=3= 2 + 1 = 3 যেহেতু ∣B∣≠0\vert{}B\vert{} \neq 0, তাই বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়যোগ্য। এখন BB ম্যাট্রিক্সের সহগুণকগুলো (Cofactors) নির্ণয় করি: B11=(3×1)−(1×2)=3−2=1B_{11} = (3 \times 1) - (1 \times 2) = 3 - 2 = 1 B12=−{(1×1)−(1×1)}=−(1−1)=0B_{12} = -\{(1 \times 1) - (1 \times 1)\} = -(1 - 1) = 0 B13=(1×2)−(3×1)=2−3=−1B_{13} = (1 \times 2) - (3 \times 1) = 2 - 3 = -1 B21=−{(0×1)−(−1×2)}=−(0+2)=−2B_{21} = -\{(0 \times 1) - (-1 \times 2)\} = -(0 + 2) = -2 B22=(2×1)−(−1×1)=2+1=3B_{22} = (2 \times 1) - (-1 \times 1) = 2 + 1 = 3 B23=−{(2×2)−(0×1)}=−(4−0)=−4B_{23} = -\{(2 \times 2) - (0 \times 1)\} = -(4 - 0) = -4 B31=(0×1)−(−1×3)=0+3=3B_{31} = (0 \times 1) - (-1 \times 3) = 0 + 3 = 3 B32=−{(2×1)−(−1×1)}=−(2+1)=−3B_{32} = -\{(2 \times 1) - (-1 \times 1)\} = -(2 + 1) = -3 B33=(2×3)−(0×1)=6−0=6B_{33} = (2 \times 3) - (0 \times 1) = 6 - 0 = 6 সহগুণকগুলো দ্বারা গঠিত ম্যাট্রিক্স: [10−1−23−43−36]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & -4 \\ 3 & -3 & 6 \end{bmatrix} অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, Adj(B)\text{Adj}(B) হবে সহগুণক ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ: \text{Adj}(B) = \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & -4 & 6 \end{bmatrix}\] আমরা জানি, বিপরীত ম্যাট্রিক্স, B−1=1∣B∣Adj(B)B^{-1} = \frac{1}{\vert{}B\vert{}} \text{Adj}(B) \therefore C = \frac{1}{3} \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & -4 & 6 \end{bmatrix}\] নির্ণেয় ম্যাট্রিক্স, C = \frac{1}{3} \[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & -4 & 6 \end{bmatrix}\]
HSCHigher Math 1st PaperChapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 5\end{array}\]\right] ; \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{l}6 \\ 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{X}=\left[\[\begin{array}{l}\mathrm{x} \y\end{array}\]\right]

Barisal · 2017

ক
p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?
খ
উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।
গ
উদ্দীপকের আলোকে AX=B\mathrm{AX}=\mathrm{B} হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উদ্দীপকের আলোকে, A2−5 A+6I\mathrm{A}^2-5 \mathrm{~A}+6 \mathrm{I} নির্ণয় কর, যেখানে \mathrm{I}=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

p\mathrm{p} এর মান কত হলে \left[\[\begin{array}{cc}\mathrm{p}-2 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\]\right] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: B =\left(\[\begin{array}{lll}1 & 3 & -5 \\ 6 & 4 & -2 \\ 5 & 2 & -1\end{array}\]\right) ; C=\left(\[\begin{array}{lll}-2 & -1 & 2 \\ -4 & -3 & 2 \\ -1 & -4 & 6\end{array}\]\right) দৃশ্যকল্প-২: 27x+37y−57z=x4−y+z4=3x5−y5−2z5=1\frac{2}{7} x+\frac{3}{7} y-\frac{5}{7} z=\frac{x}{4}-y+\frac{z}{4}=\frac{3 x}{5}-\frac{y}{5}-\frac{2 z}{5}=1.

Sylhet · 2017

ক
বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.
খ
A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

A=B+C\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C} হলে A−1\mathrm{A}^{-1} নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

বিস্তার না করে প্রমাণ কর: \left|\[\begin{array}{lll}\mathrm{x} & -\mathrm{a} & \mathrm{x}+\mathrm{a} \\ \mathrm{y} & -\mathrm{b} & \mathrm{y}+\mathrm{b} \\ \mathrm{z} & -\mathrm{c} & \mathrm{z}+\mathrm{c}\end{array}\]\right|=0.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

x+y+z=1…… (i) lx+my+nz=k……(ii)l2x+m2y+n2z=k2………(iii)\begin{aligned} & \mathrm{x}+\mathrm{y}+\mathrm{z}=1 \ldots \ldots \text{ (i) } \\ & l \mathrm{x}+\mathrm{my}+\mathrm{nz}=\mathrm{k} \ldots \ldots (ii)\\ & l^2 \mathrm{x}+\mathrm{m}^2 \mathrm{y}+\mathrm{n}^2 \mathrm{z}=\mathrm{k}^2 \ldots \ldots \ldots(iii)\end{aligned}

Jessore · 2017

ক
2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।
খ
সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).
গ
x,y,z\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z} এর সহগ নিয়ে গঠিত A\mathrm{A} একটি ম্যাট্রিক্স। A\mathrm{A} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর; যেখানে l=1, m=2,n=−1l=1, \mathrm{~m}=2, \mathrm{n}=-1.

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

সমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, det⁡(A)=(l−m)(m−n)(n−l)\operatorname{det}(\mathrm{A})=(l-\mathrm{m})(\mathrm{m}-\mathrm{n})(\mathrm{n}-l).

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

2\left[\[\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right]+\mathrm{F}=\mathrm{I}_2 হলে, F\mathrm{F} ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে I2\mathrm{I}_2 একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right], \mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{t}}, f(\mathrm{x})=\mathrm{x}^2-4 \mathrm{x}

Chittagong · 2017

ক
g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।
খ
f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।
গ
B\mathrm{B} এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

f( B)f(\mathrm{~B}) নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

g(x)=12x−3g(x)=\frac{1}{2 x-3} ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

উদ্দীপকের আলোকে [গণিত] হলে ক্রেমার পদ্ধতিতে x, y নির্ণয় কর।উদ্দীপকের আলোকে, [গণিত] নির্ণয় কর, যেখানে [গণিত] ।[গণিত] এর মান কত হলে [গণিত] একটি ব্যতিক্রমী বর্গ ম্যাট্রিক্স হবে?দৃশ্যকল্প-২ এ বর্ণিত সমীকরণ জোটটি ক্রেমারের নিয়মে সমাধান কর।[গণিত] হলে [গণিত] নির্ণয় কর।বিস্তার না করে প্রমাণ কর: [গণিত] .[গণিত] এর সহগ নিয়ে গঠিত [গণিত] একটি ম্যাট্রিক্স। [গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নসমীকরণগুলোকে AX = B আকারে প্রকাশ করে দেখাও যে, [গণিত] .[গণিত] হলে, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় কর; যেখানে [গণিত] একটি অভেদ ম্যাট্রিক্স[গণিত] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় কর।[গণিত] নির্ণয় কর।[গণিত] ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন