Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সরলরেখা CD সরলরেখাকে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় করো।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] সরলরেখার সমীকরণ, [গণিত] উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে [গণিত] মনে করি, [গণিত] সরলরেখা [গণিত] সরলরেখাকে [গণিত] বিন্দুতে ছেদ করে। [গণিত] নং হতে [গণিত] নং বিয়োগ করে পাই, [গণিত] এর মান [গণিত] নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, [গণিত] বিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] এখন [গণিত] বিন্দু থেকে [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করি, [গণিত] অনুপাত, [গণিত] এখানে লক্ষণীয় যে, [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুগামী রেখাংশের মাঝে [গণিত] বিন্দুটি অবস্থিত নয় (কারণ [গণিত] এর ভুজ [গণিত] , যা [গণিত] ও [গণিত] এর বাইরে)। অর্থাৎ, [গণিত] বিন্দুটি [গণিত] এর বর্ধিতাংশের উপর অবস্থিত। সুতরাং, [গণিত] সরলরেখা [গণিত] সরলরেখাকে [গণিত] অনুপাতে বহির্বিভক্ত (Divides externally) করে। [গণিত] অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 3: সরলরেখা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 3: সরলরেখা · সৃজনশীল

সরলরেখা CD সরলরেখাকে যে অনুপাতে বিভক্ত করে তা নির্ণয় করো।

উদ্দীপক

A⃗=2i^+j^+k^,\vec{A}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k},B⃗\vec{B}=i^−2j^+2k^,C(3,1),D(1,0),E(5,1)=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}, C(3,1), D(1,0), E(5,1) এবং F(−10,−4)\mathrm{F}(-10,-4).

উত্তর

ধরি, (x,y)=(−2,−2)(x, y)=(-2,-2) ∴ বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক (r,θ)(r, \theta) হলে, r=(−2)2+(−2)2r=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2} =4+4=\sqrt{4+4} =8=22=\sqrt{8}=2 \sqrt{2} (−2,−2)(-2,-2) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত। ∴θ=π+tan⁡−1∣yx∣\therefore \theta =\pi+\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| =π+tan⁡−1∣−2−2∣=\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-2}{-2}\right| =π+tan⁡−1∣1∣=\pi+\tan^{-1}|1| =π+tan⁡−11=\pi+\tan^{-1} 1 =π+π4=5π4=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5 \pi}{4} আবার, θ=−π+tan⁡−1∣yx∣\theta =-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right| =−π+tan⁡−1∣−2−2∣=-\pi+\tan^{-1}\left|\frac{-2}{-2}\right| =−π+tan⁡−1∣1∣=-\pi+\tan^{-1}|1| =−π+tan⁡−11=-\pi+\tan^{-1} 1 =−π+π4=−3π4=-\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{-3 \pi}{4} ∴(−2,−2)\therefore(-2,-2) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক (22,5π4)\left(2 \sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4}\right) অথবা, (22,−3π4)\left(2 \sqrt{2}, \frac{-3 \pi}{4}\right).

উত্তর

দেওয়া আছে, A⃗=2i^+j^+k^\vec{A} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} B⃗=i^−2j^+2k^\vec{B} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k} A⃗\vec{A} এবং B⃗\vec{B} ভেক্টর দুইটির লম্ব ভেক্টর, A⃗×\vec{A} \timesB⃗\vec{B}= \[\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 2 \end{vmatrix}\] =i^(2−(−2))−j^(4−1)+k^(−4−1)= \hat{i}(2 - (-2)) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-4 - 1) =i^(2+2)−j^(3)+k^(−5)= \hat{i}(2 + 2) - \hat{j}(3) + \hat{k}(-5) =4i^−3j^−5k^= 4\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k} এখন, A⃗×B⃗\vec{A} \times \vec{B} ভেক্টরের মান, ∣\vert{}A⃗\vec{A}×\timesB⃗\vec{B}∣=(4)2+(−3)2+(−5)2\vert{} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2 + (-5)^2} =16+9+25= \sqrt{16 + 9 + 25} =50=52= \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ∴\therefore A⃗\vec{A} এবং B⃗\vec{B} ভেক্টর দুইটির উপর লম্ব একক ভেক্টর, \hat{\eta} = \pm \frac{A⃗\vec{A}×\timesB⃗\vec{B}}{\vert{}A⃗\vec{A}×\timesB⃗\vec{B}\vert{}} =±4i^−3j^−5k^52= \pm \frac{4\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}}{5\sqrt{2}} =±(452i^−352j^−552k^)= \pm \left( \frac{4}{5\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{3}{5\sqrt{2}}\hat{j} - \frac{5}{5\sqrt{2}}\hat{k} \right) =±(452i^−352j^−12k^)= \pm \left( \frac{4}{5\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{3}{5\sqrt{2}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k} \right) নির্ণেয় লম্ব একক ভেক্টর: ±(452i^−352j^−12k^)\pm \left( \frac{4}{5\sqrt{2}}\hat{i} - \frac{3}{5\sqrt{2}}\hat{j} - \frac{1}{\sqrt{2}}\hat{k} \right)

উত্তর

দেওয়া আছে, C(3,1),D(1,0),E(5,1)C(3,1), D(1,0), E(5,1) এবং F(−10,−4)F(-10,-4) CDCD সরলরেখার সমীকরণ, x−x1x1−x2=y−y1y1−y2\frac{x - x_1}{x_1 - x_2} = \frac{y - y_1}{y_1 - y_2} ⇒x−33−1=y−11−0\Rightarrow \frac{x - 3}{3 - 1} = \frac{y - 1}{1 - 0} ⇒x−32=y−11\Rightarrow \frac{x - 3}{2} = \frac{y - 1}{1} ⇒x−3=2y−2\Rightarrow x - 3 = 2y - 2 ⇒x−2y−1=0⋯(1)\Rightarrow x - 2y - 1 = 0 \quad \cdots (1) EFEF সরলরেখার সমীকরণ, x−55−(−10)=y−11−(−4)\frac{x - 5}{5 - (-10)} = \frac{y - 1}{1 - (-4)} ⇒x−515=y−15\Rightarrow \frac{x - 5}{15} = \frac{y - 1}{5} ⇒x−53=y−1\Rightarrow \frac{x - 5}{3} = y - 1 \quad উভয়পক্ষকে 55 দ্বারা গুণ করে ]] ⇒x−5=3y−3\Rightarrow x - 5 = 3y - 3 ⇒x−3y−2=0⋯(2)\Rightarrow x - 3y - 2 = 0 \quad \cdots (2) মনে করি, EFEF সরলরেখা CDCD সরলরেখাকে PP বিন্দুতে ছেদ করে। (1)(1) নং হতে (2)(2) নং বিয়োগ করে পাই, (x−2y−1)−(x−3y−2)=0(x - 2y - 1) - (x - 3y - 2) = 0 ⇒y+1=0\Rightarrow y + 1 = 0 ∴y=−1\therefore y = -1 yy এর মান (1)(1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, x−2(−1)−1=0x - 2(-1) - 1 = 0 ⇒x+2−1=0\Rightarrow x + 2 - 1 = 0 ⇒x+1=0\Rightarrow x + 1 = 0 ∴x=−1\therefore x = -1 ∴P\therefore P বিন্দুর স্থানাঙ্ক =(−1,−1)= (-1, -1) এখন PP বিন্দু থেকে CC এবং DD বিন্দুর দূরত্ব নির্ণয় করি, CP=(3−(−1))2+(1−(−1))2=42+22=16+4=20=25CP = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} PD=(1−(−1))2+(0−(−1))2=22+12=4+1=5PD = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5} অনুপাত, CPPD=255=21=2:1\frac{CP}{PD} = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{2}{1} = 2:1 এখানে লক্ষণীয় যে, C(3,1)C(3, 1) এবং D(1,0)D(1, 0) বিন্দুগামী রেখাংশের মাঝে P(−1,−1)P(-1, -1) বিন্দুটি অবস্থিত নয় (কারণ PP এর ভুজ −1-1, যা 11 ও 33 এর বাইরে)। অর্থাৎ, PP বিন্দুটি CDCD এর বর্ধিতাংশের উপর অবস্থিত। সুতরাং, EFEF সরলরেখা CDCD সরলরেখাকে 2:12:1 অনুপাতে বহির্বিভক্ত (Divides externally) করে। 2:12:1 অনুপাতে বহির্বিভক্ত করে।
HSCHigher Math 1st PaperChapter 3: সরলরেখা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x−2y+1=0x-2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: P→=i^−2j^+k^;\overrightarrow{\mathrm{P}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} ;Q⃗\vec{Q}=2i^+j^−3k^=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}.

Barisal · 2017

ক
(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে (P→+Q→)(\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{Q}}) বরাবর Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর উপাংশ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে: G, △ABC\triangle A B C এর ভরকেন্দ্র; D,BC\mathrm{D}, \mathrm{BC} এর মধ্যবিন্দু, EB⊥BC\mathrm{EB} \perp \mathrm{BC} ।

Jessore · 2017

ক
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
গ
∠EBC\angle \mathrm{EBC} কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: question image

Chittagong · 2017

ক
(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

5x-4y-1 = 03-8x + 7y + 1 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। 4x + 3y - 5 = 0 রেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।

Comilla · 2017

ক
(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
খ
স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে [গণিত] বরাবর [গণিত] এর উপাংশ নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে এবং [গণিত] বিন্দ[গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু [গণিত] অনুপাতে অন্তুর্বি[গণিত] কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] বিন্দুটি [গণিত] রেখাকে [গণিত] অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তাদৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরস্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন