Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

AP সরলরেখার সাপেক্ষে (3, 7) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় কর।

উত্তর: AP রেখার সমীকরণ, [গণিত] .(i) এখন, AP রেখার উপর লম্ব রেথার সমীকরণ, [গণিত] ... (ii) (ii) নং [গণিত] বিন্দুগামী, [গণিত] বা, [গণিত] এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ : [গণিত] .. (iii) (i) ও (iii) নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] (i) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক [গণিত] ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দু [গণিত] প্রদত্ত বিন্দু [গণিত] এবং প্রাপ্ত ছেদবিন্দু [গণিত] . এখন, [গণিত] বিন্দুটি [গণিত] -এর প্রতিবিম্ব বিন্দু হলে, [গণিত] এর মধ্যবিন্দু হবে [গণিত] । [চিত্র] [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] এবং [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বा, [গণিত] প্রতিবিম্ব বিন্দু [গণিত] .

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 3: সরলরেখা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 3: সরলরেখা · সৃজনশীল

AP সরলরেখার সাপেক্ষে (3, 7) বিন্দুর প্রতিবিম্ব নির্ণয় কর।

উদ্দীপক

question image চিত্রে, AQ ও AP রেখার সমীকরণ যথাক্রমে 4x+3y−12=04 x+3 y-12=0 এবং 12x+5y−13=012 x+5 y-13=0.

উত্তর

question image অর্থাৎ C(p,q)\mathrm{C}(\mathrm{p}, \mathrm{q}) বিন্দু AB কে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে। ∴p=2×(−10)+1×82+1\therefore p =\frac{2 \times(-10)+1 \times 8}{2+1} =−20+83=−123=−4=\frac{-20+8}{3}=\frac{-12}{3}=-4 এবং q=2×11+1×92+1\mathrm{q}=\frac{2 \times 11+1 \times 9}{2+1} =22+93=313=\frac{22+9}{3}=\frac{31}{3} ∴(q,p)=(313,−4)\therefore \quad(q, p)=\left(\frac{31}{3},-4\right) নির্ণেয় মান : (q,p)=(313,−4)(q, p)=\left(\frac{31}{3},-4\right)

উত্তর

AQAQ রেখার সমীকরণ, 4x+3y−12=04 x+3 y-12=0 …..(i)\ldots.. (i) APAP রেখার সমীকরণ, 12x+5y−13=012 x+5 y-13=0
…..(ii)(i)\ldots.. (ii) (i)
নং ও (ii) নং রেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়। অর্থাৎ ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের সমীকরণ, 4x+3y−1242+32=±12x+5y−13122+52\frac{4 x+3 y-12}{\sqrt{4^2+3^2}}= \pm \frac{12 x+5 y-13}{\sqrt{12^2+5^2}} বা, 4x+3y−1225=12x+5y−13169\frac{4 x+3 y-12}{\sqrt{25}}=\frac{12 x+5 y-13}{\sqrt{169}} বা, 4x+3y−125=±12x+5y−1313\frac{4 x+3 y-12}{5}= \pm \frac{12 x+5 y-13}{13} বা, 13(4x+3y−12)=±5(12x+5y−13)13(4 x+3 y-12)= \pm 5(12 x+5 y-13) বা, 52x+39y−156=±(60x+25y−65)52 x+39 y-156= \pm(60 x+25 y-65) (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, 52x+39y−156=60x+25y−6552 x+39 y-156=60 x+25 y-65 বা, −8x+14y−91=0-8 x+14 y-91=0 ∴8x−14y+91=0\therefore \quad 8 x-14 y+91=0 …..(iii)\ldots.. (iii) বা, 14y=8x+9114 y=8 x+91 বা, y=814x+9114y=\frac{8}{14} x+\frac{91}{14} ∴y=47x+132\therefore y=\frac{4}{7} x+\frac{13}{2} ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m1=47\mathrm{m}_1=\frac{4}{7} (-) চিহ্ন নিয়ে পাই, 52x+39y−156=−(60x+25y−65)52 x+39 y-156=-(60 x+25 y-65) বা, 52x+39y−156+60x+25y−65=052 \mathrm{x}+39 \mathrm{y}-156+60 \mathrm{x}+25 \mathrm{y}-65=0 ∴112x+64y−221=0\therefore \quad 112 x+64 y-221=0. ……(iv)\ldots\ldots (iv) বা, 64y=−112x+22164 y=-112 x+221 বা, y=−11264x+22164∴y=−74x+22164y=\frac{-112}{64} x+\frac{221}{64} \quad \therefore \quad y=\frac{-7}{4} x+\frac{221}{64} ∴\therefore রেখাটির ঢাল, m2=−74\mathrm{m}_2=-\frac{7}{4} ∴\therefore ঢালদ্বয়ের গুণফল, m1×m2=47×−74=−1\mathrm{m}_1 \times \mathrm{m}_2=\frac{4}{7} \times \frac{-7}{4}=-1 যেহেতু (iii) নং ও (iv) নং রেখার ঢালদ্বয়ের গুণফল 1, সেহেতু (iii) ও (iv)নং রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব। অর্থাৎ, ∠PAQ কোণের সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর লম্ব। (দেখানো হলো)

উত্তর

AP রেখার সমীকরণ, 12x+5y−13=012 x+5 y-13=0 …….(i)\ldots\ldots.(i) এখন, AP রেখার উপর লম্ব রেথার সমীকরণ, 5x−12y+k=05 x-12 y+k=0
…...(ii)(ii)\ldots... (ii) (ii)
নং (3,7)(3,7) বিন্দুগামী, ∴5×3−12×7+k=0\therefore \quad 5 \times 3-12 \times 7+k=0 ∴15−84+k=0\therefore \quad 15-84+k=0 বা, −69+k=0∴k=69-69+k=0 \quad \therefore k=69 ∴AP−\therefore \mathrm{AP}-এর উপর লম্ব রেখার সমীকরণ : 5x−12y+69=05 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}+69=0
…..(iii)(i)\ldots.. (iii) (i)
ও (iii) নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, \frac{x}{5 \times 69-(-12} \times(-13)}=\frac{y}{5 \times(-13}-12 \times 69}=\frac{1}{12 \times(-12}-5 \times 5} বা, x345−156=y−65−828=1−144−25\frac{x}{345-156}=\frac{y}{-65-828}=\frac{1}{-144-25} বা, x189=y−893=1−169\frac{x}{189}=\frac{y}{-893}=\frac{1}{-169} ∴x189=1−169\therefore \quad \frac{x}{189}=\frac{1}{-169} বা, x=−189169\mathrm{x}=-\frac{189}{169} এবং y−893=1−169\frac{y}{-893}=\frac{1}{-169} বা, y=893169y=\frac{893}{169} ∴\therefore (i) ও (iii) নং রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (−189169,893169)\left(-\frac{189}{169}, \frac{893}{169}\right) ধরি, প্রতিবিম্ব বিন্দু (α,β)(\alpha, \beta) প্রদত্ত বিন্দু (x1,y1)=(3,7)\left(x_1, y_1\right)=(3,7) এবং প্রাপ্ত ছেদবিন্দু (x2,y2)=(−189169,893169)\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2\right)=\left(-\frac{189}{169}, \frac{893}{169}\right). এখন, (α,β)(\alpha, \beta) বিন্দুটি (x1,y1)\left(x_1, y_1\right)-এর প্রতিবিম্ব বিন্দু হলে, (α,β)⋆(x1,y1)(\alpha, \beta) \star\left(x_1, y_1\right) এর মধ্যবিন্দু হবে (x2;y2)\left(x_2 ; y_2\right)। question image ∴x2=x1+α2\therefore \quad x_2=\frac{x_1+\alpha}{2} বা, −189169=3+α2\frac{-189}{169}=\frac{3+\alpha}{2} বা, 507+169α=−378507+169 \alpha=-378 বা, 169α=−378−507169 \alpha=-378-507 ∴α=−885169\therefore \quad \alpha=\frac{-885}{169} এবং y2=y1+β2y_2=\frac{y_1+\beta}{2} 893169=7+β2\frac{893}{169}=\frac{7+\beta}{2} বা, 1183+169β=17861183+169 \beta=1786 বা, 169=1786−1183169=1786-1183 বা, 169β=603169 \beta=603 বा, β=603169\beta=\frac{603}{169} ∴\therefore প্রতিবিম্ব বিন্দু =(−885169,603169)=\left(\frac{-885}{169}, \frac{603}{169}\right).
HSCHigher Math 1st PaperChapter 3: সরলরেখা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x−2y+1=0x-2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: P→=i^−2j^+k^;\overrightarrow{\mathrm{P}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} ;Q⃗\vec{Q}=2i^+j^−3k^=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}.

Barisal · 2017

ক
(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে (P→+Q→)(\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{Q}}) বরাবর Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর উপাংশ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে: G, △ABC\triangle A B C এর ভরকেন্দ্র; D,BC\mathrm{D}, \mathrm{BC} এর মধ্যবিন্দু, EB⊥BC\mathrm{EB} \perp \mathrm{BC} ।

Jessore · 2017

ক
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
গ
∠EBC\angle \mathrm{EBC} কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: question image

Chittagong · 2017

ক
(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

5x-4y-1 = 03-8x + 7y + 1 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। 4x + 3y - 5 = 0 রেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।

Comilla · 2017

ক
(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
খ
স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে [গণিত] বরাবর [গণিত] এর উপাংশ নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে এবং [গণিত] বিন্দ[গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু [গণিত] অনুপাতে অন্তুর্বি[গণিত] কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] বিন্দুটি [গণিত] রেখাকে [গণিত] অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তাদৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরস্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন