Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] ) হতে দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত রেখার লম্বদূরত্ব p ও q হলে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, [গণিত] বা, bx [গণিত] বা, bx [গণিত] . (i) [গণিত] বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব [গণিত] ও [গণিত] হলে, [গণিত] বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব, [গণিত] এবং [গণিত] বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 1st Paper Chapter 3: সরলরেখা CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 3: সরলরেখা · সৃজনশীল

) হতে দৃশ্যকল্প-২ এ উল্লিখিত রেখার লম্বদূরত্ব p ও q হলে দেখাও যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১ : 3x−4y+7=03 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}+7=0 এবং 5x−12y+6=05 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}+6=0 দুইটি সরলরেখা। দৃশ্যকল্প-২ : xacos⁡θ−ybsin⁡θ=1\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \cos \theta-\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}} \sin \theta=1 একটি রেখা।

উত্তর

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, y=mx+c\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c} রেখাটির ঢাল =m=\mathrm{m}. প্রশ্নমতে, (−1,2)(-1,2) বিন্দুটি y=mx+c\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c} রেখার উপর অবস্থিত। ∴2=m(−1)+c\therefore 2=m(-1)+c ∴c=2+m………( i )\therefore c=2+m \ldots \ldots \ldots(\text{ i }) আবার, মূলবিন্দু (0,0)(0,0) এবং (−1,2)(-1,2) বিন্দুর সংযোজক রেখার ঢাল m1=2−0−1−0=−2m_1=\frac{2-0}{-1-0}=-2 m1m_1 ঢালবিশিষ্ট রেখা এবং প্রদত্ত রেখার পরস্পর লম্ব বলে। m×m1=−1m \times m_1=-1 বা, m×(−2)=−1m \times(-2)=-1 ∴m=12\therefore \quad \mathrm{m}=\frac{1}{2} m এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, c=2+12=52\mathrm{c}=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} নির্ণেয় মান : m=12\mathrm{m}=\frac{1}{2} এবং c=52\mathrm{c}=\frac{5}{2}.

উত্তর

প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, 3x−4y+7=03 x-4 y+7=0 ….(i)\ldots. (i) এবং 5x−12y+6=05 \mathrm{x}-12 \mathrm{y}+6=0
…..(ii)(i)\ldots.. (ii) (i)
নং ও (ii) নং হতে বজ্রগুণন পদ্ধতিতে পাই, x−24+84=y35−18=1−36+20\frac{x}{-24+84}=\frac{y}{35-18}=\frac{1}{-36+20} বা, x60=y17=1−16∴x=60−16=15−4\frac{x}{60}=\frac{y}{17}=\frac{1}{-16} \therefore x=\frac{60}{-16}=\frac{15}{-4} এবং y=17−16y=\frac{17}{-16} ∴\therefore রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (−154,−1716)\left(-\frac{15}{4},-\frac{17}{16}\right) নির্ণেয় রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করে বলে রেখাটির ঢাল, ms=tan⁡(±45∘)=±1m_s=\tan \left( \pm 45^{\circ}\right)= \pm 1 এখন, (−154,−1716)\left(-\frac{15}{4},-\frac{17}{16}\right) বিন্দুগামী এবং ±1\pm 1 ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ y−y1=m(x−x1)y-y_1=m\left(x-x_1\right) বা, y+1716=±(x+154)y+\frac{17}{16}= \pm\left(x+\frac{15}{4}\right) (+) চিহ্ন নিয়ে পাই, y+1716=x+154y+\frac{17}{16}=x+\frac{15}{4} বা, x−y=1716−154x-y=\frac{17}{16}-\frac{15}{4} বা, x−y=17−6016x-y=\frac{17-60}{16} বা, x−y=−4316x-y=\frac{-43}{16} বা, 16x−16y=−4316 x-16 y=-43 ∴16x−16y+43=0\therefore \quad 16 x-16 y+43=0 (-) চিহ্ন নিয়ে পাই, y+1716=−(x+1514)y+\frac{17}{16}=-\left(x+\frac{15}{14}\right) বা, y+1716=−x−154y+\frac{17}{16}=-x-\frac{15}{4} বা, x+y=−1716−154x+y=-\frac{17}{16}-\frac{15}{4} বা, x+y=−17−6016x+y=\frac{-17-60}{16} বা, x+y=−7716x+y=\frac{-77}{16} বা, 16x+16y=−7716 x+16 y=-77 ∴16x−16y+77=0\therefore 16 x-16 y+77=0 নির্ণেয় সমীকরণ 16x−16y+43=016 x-16 y+43=0 অথবা 16x−16y+77=016 x-16 y+77=0

উত্তর

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, xacos⁡θ−ybsin⁡θ=1\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}} \cos \theta-\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}} \sin \theta=1 বা, bx cos⁡θ−aysin⁡θ=ab\cos \theta-a y \sin \theta=a b বা, bx cos⁡θ−aysin⁡θ−ab=0\cos \theta-a y \sin \theta-a b=0 …….(i)\ldots\ldots. (i) (±a2−b2,0)\left( \pm \sqrt{a^2-b^2}, 0\right) বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব pp ও qq হলে, (a2−b2,0)\left(\sqrt{a^2-b^2}, 0\right) বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব, p=∣ba2−b2cos⁡θ−abb2cos⁡2θ+a2sin⁡2θ∣p=\left|\frac{b \sqrt{a^2-b^2} \cos \theta-a b}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}}\right| এবং (−a2−b2,0)\left(-\sqrt{\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2}, 0\right) বিন্দু হতে (i) নং রেখার লম্ব দূরত্ব q=∣−ba2−b2cos⁡θ−abb2cos⁡2θ+a2sin⁡2θ∣=∣−(ba2−b2cos⁡θ+ab)b2cos⁡2θ+a2sin⁡2θ∣q=\left|\frac{-b \sqrt{a^2-b^2} \cos \theta-a b}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}}\right|=\left|\frac{-\left(b \sqrt{a^2-b^2} \cos \theta+a b\right)}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}}\right| ∴pq=∣−ba2−b2cos⁡θ−abb2cos⁡2θ+a2sin⁡2θ∣⋅∣−(ba2−b2⋅cos⁡θ+ab)b2cos⁡2θ+a2sin⁡2θ∣\therefore \quad p q=\left|\frac{-b \sqrt{a^2-b^2} \cos \theta-a b}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}}\right| \cdot\left|\frac{-\left(b \sqrt{a^2-b^2} \cdot \cos \theta+a b\right)}{\sqrt{b^2 \cos^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}}\right| =∣−{b2(a2−b2)cos⁡2θ−a2b2}b2cos⁡2θ+a2sin⁡2θ∣=\left|\frac{-\left\{b^2\left(a^2-b^2\right) \cos^2 \theta-a^2 b^2\right\}}{b^2 \cos^2 \theta+a^2 \sin^2 \theta}\right| =∣−b2{(a2−b2)cos⁡2θ−a2}b2cos⁡2θ+a2−a2cos⁡2θ∣=\left|\frac{-b^2\left\{\left(a^2-b^2\right) \cos^2 \theta-a^2\right\}}{b^2 \cos^2 \theta+a^2-a^2 \cos^2 \theta}\right| =∣−b2{(a2−b2)cos⁡2θ−a2}−(a2−b2)cos⁡2θ+a2∣=\left|\frac{-b^2\left\{\left(a^2-b^2\right) \cos^2 \theta-a^2\right\}}{-\left(a^2-b^2\right) \cos^2 \theta+a^2}\right| =∣−b2{(a2−b2)cos⁡2θ−a2}−{(a2−b2)cos⁡2θ−a2}∣=∣b2∣=\left|\frac{-b^2\left\{\left(a^2-b^2\right) \cos^2 \theta-a^2\right\}}{-\left\{\left(a^2-b^2\right) \cos^2 \theta-a^2\right\}}\right|=\left|b^2\right| ∴pq=b2.\therefore pq =b^2 . (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 1st PaperChapter 3: সরলরেখা
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: x−2y+1=0x-2 y+1=0 দৃশ্যকল্প-২: P→=i^−2j^+k^;\overrightarrow{\mathrm{P}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} ;Q⃗\vec{Q}=2i^+j^−3k^=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}.

Barisal · 2017

ক
(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে (P→+Q→)(\overrightarrow{\mathrm{P}}+\overrightarrow{\mathrm{Q}}) বরাবর Q→\overrightarrow{\mathrm{Q}} এর উপাংশ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত 45∘45^{\circ} কোণ উৎপন্ন করে এবং (1,2)(1,2) বিন্দু দিয়ে যায় এরূপ দুটি সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

(1,2)(1,2) এবং (3,6)(3,6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু 2:32: 3 অনুপাতে অন্তুর্বিভক্ত করে তার স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

question image চিত্রে: G, △ABC\triangle A B C এর ভরকেন্দ্র; D,BC\mathrm{D}, \mathrm{BC} এর মধ্যবিন্দু, EB⊥BC\mathrm{EB} \perp \mathrm{BC} ।

Jessore · 2017

ক
△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
খ
দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।
গ
∠EBC\angle \mathrm{EBC} কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

দেখাও যে, G\mathrm{G} বিন্দুটি AD\mathrm{AD} রেখাকে 2:12: 1 অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

△ABC\triangle \mathrm{ABC} এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প: question image

Chittagong · 2017

ক
(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।
খ
দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

দৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.সৃজনশীল প্রশ্ন

উদ্দীপক

5x-4y-1 = 03-8x + 7y + 1 = 0 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দু স্টেশনমাস্টারের কক্ষে অবস্থিত। 4x + 3y - 5 = 0 রেখা বরাবর রেলপথের একটি লাইন অবস্থিত।

Comilla · 2017

ক
(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
খ
স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।
গ
রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

স্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

দৃশ্যকল্প-২ এর সাহয্যে [গণিত] বরাবর [গণিত] এর উপাংশ নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্প-১ দ্বারা প্রকাশিত সরলরেখার সহিত [গণিত] কোণ উৎপন্ন করে এবং [গণিত] বিন্দ[গণিত] এবং [গণিত] বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে যে বিন্দু [গণিত] অনুপাতে অন্তুর্বি[গণিত] কোণের সমদ্বিখণ্ডক রেখাদ্বয়ের সমীকরণ নির্ণয় কর।দেখাও যে, [গণিত] বিন্দুটি [গণিত] রেখাকে [গণিত] অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।[গণিত] এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।দৃশ্যকল্পের মূলবিন্দু ও AB রেখাংশের সমত্রিখণ্ডন বিন্দুদ্বয় যে ত্রিভুজ গঠন করে তাদৃশ্যকল্পের আলোকে AB রেখা হতে ও একক দূরবর্তী সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।(3,5) ও (6, 7) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার লম্বদ্বিখন্ডকের ঢাল নির্ণয় কর।রেললাইনের সাথে 3x 4y + 6 = 0 রেখা দ্বারা উৎপন্ন সূক্ষ্মকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরস্টেশনমাস্টারের কক্ষ বিন্দু হতে রেললাইনের উপর অঙ্কিত লম্বের সমীকরণ নির্ণয় কর।(-1, 2) এবং (3, -5) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন