দেখাও যে, [গণিত] একটি সমাতি ম্যাট্রিক্স।
উত্তর: ধরি, [গণিত] ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতী হলে [গণিত] হবে। এখন, [গণিত] যেহেতু [গণিত] . সেহেতু প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
দেখাও যে, একটি সমাতি ম্যাট্রিক্স।
উদ্দীপক
দৃশ্যকল্প : A=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right], B=\left[\[\begin{array}{ccc}a & a^2 & a^3-1 \b & b^2 & b^3-1 \c & c^2 & c^3-1\end{array}\]\right]
নটরডেম কলেজ · 2025
উত্তর
ধরি, P=\left[\[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\]\right]
ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতী হলে হবে।
এখন,
=\left[\[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\]\right] \cdot\left[\[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr} 4+2-4 & -4-6+8 & -8-8+12 \\ -2-3+4 & 2+9-8 & 4+12-12 \\ 2+2-3 & -2-6+6 & -4-8+9 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{array}\]\right]=P
যেহেতু . সেহেতু প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স।
(দেখানো হলো)
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right]
A^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{rrr} 3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{array}\]\right]^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{rrr} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\]\right]
\therefore\left|A^{\mathrm{T}}\right|=\left|\[\begin{array}{rrr} 3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{array}\]\right|
বিদ্যমান।
ম্যাট্রিক্সের সহগুণকসমূহ:
\begin{aligned} & A^T{ }_{11}=\left|\begin{array}{rr}1 & -1 \\ 0 & 1\end{aligned}\right|=1+0=1 \\ & A^T{ }_{12}=-\left|\[\begin{array}{rr}-4 & -1 \\ 2 & 1\end{array}\]\right|=-(-4+2)=2 \\ & A^T{ }_{13}=\left|\[\begin{array}{rr}-4 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\]\right|=0-2=-2\end{aligned}
\end{array}
\begin{aligned} & A_{21}^T=-\left[\begin{array}{rr}-2 & -1 \\ 0 & 1\end{aligned}\right]=-(-2+0)=2 \\ & A^T{ }_{22}=\left|\[\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 2 & 1\end{array}\]\right|=3+2=5 \\ & A^T{ }_{23}=-\left|\[\begin{array}{rr}3 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\]\right|=-(0+4)=-4 \\ & A_{31}^{\top}=\left|\[\begin{array}{rr}-2 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\]\right|=2+1=3\end{aligned}
\end{array}
A^{\mathrm{T}}{ }_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr} 3 & -1 \\ -4 & -1 \end{array}\]\right|=-(-3-4)=7
A^T{ }_{33}=\left|\[\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ -4 & 1 \end{array}\]\right|=3-8=-5
\operatorname{Adj} A^{\mathrm{T}}=\left[\[\begin{array}{lll} \mathbf{A}^{\mathrm{T}}{ }_{11} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}}{ }^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{A}^{\mathrm{T}} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}}{ }_{22} & \mathbf{A}^{\mathrm{T}}{ }^{\mathrm{T}} \\ \mathbf{A}_{31}^{\mathrm{T}} & \mathbf{A}_{32}^{\mathrm{T}} & \mathbf{A}_{33}^{\mathrm{T}} \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ 3 & 7 & -5 \end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -2 & -4 & -5 \end{array}\]\right]
\therefore\left(A^T\right)^{-1}=\frac{1}{\left|A^{\top}\right|} \operatorname{Adj} A^T=\frac{1}{1}\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -2 & -4 & -5 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -2 & -4 & -5 \end{array}\]\right]
নির্ণেয় \left(A^T\right)^{-1}=\left[\[\begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ -2 & -4 & -5 \end{array}\]\right]\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{lll}\mathrm{a} & \mathrm{a}^2 & \mathrm{a}^3-1 \\ \mathrm{~b} & \mathrm{~b}^2 & \mathrm{~b}^3-1 \\ \mathrm{c} & \mathrm{c}^2 & \mathrm{c}^3-1\end{array}\]\right]
বামপক্ষ
\begin{aligned} & =\left|\begin{array}{lll}a & a^2 & a^3-1 \b & b^2 & b^3-1 \c & c^2 & c^3-1\end{aligned}\right|=\left|\[\begin{array}{lll}a & a^2 & a^3 \b & b^2 & b^3 \c & c^2 & c^3\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{lll}a & a^2 & 1 \b & b^2 & 1 \c & c^2 & 1\end{array}\]\right| \\ & =a b c\left|\[\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\]\right|+\left|\[\begin{array}{lll}a & 1 & a^2 \b & 1 & b^2 \c & 1 & c^2\end{array}\]\right| \\ & =a b c\left|\[\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\]\right|-\left|\[\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\]\right|=(a b c-1)\left|\[\begin{array}{lll}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{array}\]\right| \\ & =(a b c-1)\left|\[\begin{array}{ll}0 & a-b \\ 0 & b-c \a^2-b^2 \\ 1 & c \b^2-c^2 \c^2\end{array}\]\right|\left[r^{\prime}=r_1-r_2 ; r_2^{\prime}=r_2-r_3\right] \\ &=(a b c-1)\left|\[\begin{array}{ll}a-b & (a+b)(a-b) \b-c & (b+c)(b-c)\end{array}\]\right| \\ & =(a b c-1)(a-b)(b-c)\left|\[\begin{array}{ll}1 & a+b \\ 1 & b+c\end{array}\]\right| \\ & =(a b c-1)(a-b)(b-c)(b+c-a-b)\end{aligned}
\end{array}
ডানপক্ষ
(প্রমাণিত)\end{array}