বিস্তার না করে প্রমাণ কর : [গণিত] .
উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ১ম ও ৩য় কলাম একই] = ডানপক্ষ $ [গণিত] | [গণিত] & [গণিত] + [গণিত] & - [গণিত] & [গণিত] + [গণিত] & - [গণিত] & [গণিত] + [গণিত] & - [গণিত] |=0 $ (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
বিস্তার না করে প্রমাণ কর : .
উদ্দীপক
যেখানে \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right] ; f(\mathrm{p})=\mathrm{p}^2-4 \mathrm{p}
রাজশাহী কলেজ · 2025
উত্তর
বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{lll} p & p+q & -q \q & q+b & -b \r & r+c & -c \end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{lll} p-p-q & p+q-q \q-q-b & q+b & -b \r-r-c & r+c & -c \end{array}\]\right|\left[\because c_1^{\prime}=c_1-c_2\right]
=\left|\[\begin{array}{lll} -q & p+q & -q \\ -b & q+b & -b \\ -c & r+c & -c \end{array}\]\right|
১ম ও ৩য় কলাম একই]
= ডানপক্ষ
$ $\therefore\left|$
\right|=0 $ (প্রমাণিত)
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{B}=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\]\right]
\mathrm{A}=\mathrm{B}^{\mathrm{t}}=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\]\right]^{\mathrm{t}}=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\]\right]
এবং
এখন, \mathrm{A}^2=\mathrm{A} \cdot \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll} 4+3+1 & 2+2+2 & 2+2+0 \\ 6+6+2 & 3+4+4 & 3+4+0 \\ 2+6+0 & 1+4+0 & 1+4+0 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 6 & 4 \\ 14 & 11 & 7 \\ 8 & 5 & 5 \end{array}\]\right]
এবং 4 \mathrm{~A}=4\left[\[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 4 \\ 12 & 8 & 8 \\ 4 & 8 & 0 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 6 & 4 \\ 14 & 11 & 7 \\ 8 & 5 & 5 \end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{ccc} 8 & 4 & 4 \\ 12 & 8 & 8 \\ 4 & 8 & 0 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 4 & -3 & 5 \end{array}\]\right]
নির্ণেয় f(A)=\left[\[\begin{array}{rrr} 0 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 4 & -3 & 5 \end{array}\]\right]
উত্তর
খ হতে প্রাপ্ত, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 0\end{array}\]\right]
A এর সহগুণকসমূহ :
A_{11}=\left|\[\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\]\right|=0-4=-4
A_{12}=-\left|\[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\]\right|=-(0-2)=2
A_{13}=\left|\[\begin{array}{ll} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array}\]\right|=6-2=4
A_{21}=-\left|\[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{array}\]\right|=-(0-2)=2
A_{22}=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\]\right|=0-1=-1
A_{23}=-\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\]\right|=-(4-1)=-3
A_{31}=\left|\[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\]\right|=2-2=0
A_{32}=-\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\]\right|=-(4-3)=-1
A_{33}=\left|\[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\]\right|=4-3=1
Adj A=\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 2 & 4 \\ 2 & -1 & -3 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\]\right]^T
=\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 4 & -3 & 1\end{array}\]\right]
\therefore \quad A^{-1}=\frac{\operatorname{Adj} A}{|A|}=-\frac{1}{2}\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 4 & -3 & 1\end{array}\]\right]
নির্ণেয় A^{-1}=-\frac{1}{2}\left[\[\begin{array}{rrr}-4 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 4 & -3 & 1\end{array}\]\right] .