প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: [বি.দ্র: B, a, b ও c এর পরিবর্তে যথাক্রমে P, x, y ও z হবে] দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] প্রয়োগ করে [গণিত] প্রয়োগ করে] [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত) [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
\mathbf{P}=\left[\[\begin{array}{ccc}x^2 & y z & z x+z^2 \x^2+x y & y^2 & z x \x y & y^2+y z & z^2\end{array}\]\right] এবং .
মাইলস্টোন কলেজ, ঢাকা · 2025
উত্তর
দেওয়া আছে, A=\left[\[\begin{array}{cc}a & a+1 \\ -a+1 & -a\end{array}\]\right]
হলে, A=\left[\[\begin{array}{cc}5 & 5+1 \\ -5+1 & -5\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rr}5 & 6 \\ -4 & -5\end{array}\]\right]
A^2=A \cdot A=\left[\[\begin{array}{rr}5 & 6 \\ -4 & -5\end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{rr}5 & 6 \\ -4 & -5\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{cc}25-24 & 30-30 \\ 20+20 & -24+25\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\]\right]=1
যেহেতু
সুতরাং একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স। (দেখানো হলো)
উত্তর
[বি.দ্র: B, a, b ও c এর পরিবর্তে যথাক্রমে P, x, y ও z হবে]
দেওয়া আছে, B=\left[\[\begin{array}{ccc}a^2 & b c & c a+c^2 \a^2+a b & b^2 & c a \a b & b^2+b c & c^2\end{array}\]\right]
বামপক্ষ =|B|=\left|\[\begin{array}{ccc}a^2 & b c & c a+c^2 \a^2+a b & b^2 & c a \a b & b^2+b c & c^2\end{array}\]\right|
=a b c\left|\[\begin{array}{ccc}a & c & a+c \a+b & b & a \b & b+c & c\end{array}\]\right|
=a b c\left|\[\begin{array}{lcc}a+c-a-c & c & a+c \a+b+b-a & b & a \b+b+c-c & b+c & c\end{array}\]\right|
প্রয়োগ করে
=a b c\left|\[\begin{array}{ccc}0 & c & a+c \\ 2 b & b & a \\ 2 b & b+c & c\end{array}\]\right|
=a b c\left|\[\begin{array}{ccc}0 & c & a+c \\ 0 & -c & a-c \\ 2 b & b+c & c\end{array}\]\right|\left[r_2^{\prime}=r_2-r_3\right. প্রয়োগ করে]
\begin{aligned} & =a b c \times 2 b\left|\begin{array}{ccc}0 & c & a+c \\ 0 & -c & a-c \\ 1 & b+c & c\end{aligned}\right|=2 a b^2 c\left|\[\begin{array}{cc}c & a+c \\ -c & a-c\end{array}\]\right| \\ & =2 a b^2 c \times c\left|\[\begin{array}{rr}1 & a+c \\ -1 & a-c\end{array}\]\right|\end{aligned}
\end{array}
ডানপক্ষ
. (প্রমাণিত)\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে, P=\left[\[\begin{array}{ccc}x^2 & y z & z x+z^2 \x^2+x y & y^2 & z x \x y & y^2+y z & z^2\end{array}\]\right]
এবং
হলে,
P=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & -1+1 \\ 1+2 & 2^2 & -1 \\ 2 & 2^2-2 & 1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\]\right]
এখন,
=\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\]\right] \cdot\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}1-6+0 & -2-8+0 & 0+2+0 \\ 3+12-2 & -6+16-2 & 0-4-1 \\ 2+6+2 & -4+8+2 & 0-2+1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}-5 & -10 & 2 \\ 13 & 8 & -5 \\ 10 & 6 & -1\end{array}\]\right]
P^3=P^2 \cdot P=\left[\[\begin{array}{rrr}-5 & -10 & 2 \\ 13 & 8 & -5 \\ 10 & 6 & -1\end{array}\]\right] \cdot\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}-5-30+4 & 10-40+4 & 0+10+2 \\ 13+24-10 & -26+32-10 & 0-8-5 \\ 10+18-2 & -20+24-2 & 0-6-1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccc}-31 & -26 & 12 \\ 27 & -4 & -13 \\ 26 & 2 & -7\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}-31 & -26 & 12 \\ 27 & -4 & -13 \\ 26 & 2 & -7\end{array}\]\right]-3\left[\[\begin{array}{rrr}1 & -2 & 0 \\ 3 & 4 & -1 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\]\right]+2\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{ccc}-31-3+2 & -26+6+0 & 12-0+0 \\ 27-9+0 & -4-12+2 & -13+3+0 \\ 26-6+0 & 2-6+0 & -7-3+2\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}-32 & -20 & 12 \\ 18 & -14 & -10 \\ 20 & -4 & -8\end{array}\]\right]
\therefore \quad f(P)=\left[\[\begin{array}{rrr}-32 & -20 & 12 \\ 18 & -14 & -10 \\ 20 & -4 & -8\end{array}\]\right].