প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
\mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\]\right] এবং \mathrm{D}=\left|\[\begin{array}{ccc}1+\mathrm{a}^2-\mathrm{b}^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025
উত্তর
=\left|\[\begin{array}{ccc} a^2 & a b & b^2 \\ 2 a & a+b & 2 b \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc} a(a-b) & b(a-b) & b^2 \a-b & a-b & 2 b \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\]\right|\left[\[\begin{array}{l} c_1^{\prime}=c_1-c_2 \c_2^{\prime}=c_2-c_3 \end{array}\]\right]
=\left|\[\begin{array}{cc} a(a-b) & b(a-b) \a-b & a-b \end{array}\]\right|
=(a-b)(a-b)\left|\[\begin{array}{cc} a & b \\ 1 & 1 \end{array}\]\right|
ডানপক্ষ
\left|\[\begin{array}{ccc} a^2 & a b & b^2 \\ 2 a & a+b & 2 b \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\]\right|=(a-b)^3 (প্রমাণিত)
উত্তর
দেওয়া আছে, \mathrm{A}=\left[\[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\]\right]
\therefore A^2=A \cdot A=\left[\[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\]\right]\left[\[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll} 1+4+4 & 2+2+4 & 2+4+2 \\ 2+2+4 & 4+1+4 & 4+2+2 \\ 2+4+2 & 4+2+2 & 4+4+1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll} 9 & 8 & 1 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{array}\]\right]
প্রদত্ত রাশি
=\left[\[\begin{array}{lll} 9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9 \end{array}\]\right]-4\left[\[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\]\right]-5\left[\[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}9 & 8 & 8 \\ 8 & 9 & 8 \\ 8 & 8 & 9\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{lll}4 & 8 & 8 \\ 8 & 4 & 8 \\ 8 & 8 & 4\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{lll}5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{lll}9-4-5 & 8-8-0 & 8-8-0 \\ 8-8-0 & 9-4-5 & 8-8-0 \\ 8-8-0 & 8-8-0 & 9-4-5\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\]\right]
উত্তর
দেওয়া আছে, D=\left|\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2 & 2 a b & -2 b \\ 0 & 1-a^2+b^2 & 2 a \b\left(1+a^2+b^2\right) & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|\left[c_1=c_1-b c_3\right]
=\left(1+a^2+b^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 a b & -2 b \\ 0 & 1-a^2+b^2 & 2 a \b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
=\left(1+a^2+b^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^2+b^2 & 2 a \b & -a\left(1+a^2+b^2\right) & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|\left[c_2^{\prime}=c_2+a c_3\right]
=\left(1+a^2+b^2\right)^2\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \b & -a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
(প্রমাণিত)