প্রমাণ কর যে, [গণিত]
উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] (প্রমাণিত) [গণিত]
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
প্রমাণ কর যে,
উদ্দীপক
P=\left[\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right]
আদমজী ক্যান্টনমেন্ট কলেজ, ঢাকা · 2025
উত্তর
\left[\[\begin{array}{cc}\alpha+4 & 8 \\ 2 & \alpha-2\end{array}\]\right] ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে,
\left|\[\begin{array}{cc}\alpha+4 & 8 \\ 2 & \alpha-2\end{array}\]\right|=0
বা, বা,
বা, বা,
বা, বা,
হয়,
বা,
অথবা,
বা,
নির্ণেয় মান:
উত্তর
দেওয়া আছে, D=\left|\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
\begin{aligned} & =\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2 & 2 a b & -2 b \\ 0 & 1-a^2+b^2 & 2 a \b\left(1+a^2+b^2\right) & -2 a & 1-a^2-b^2\end{aligned}\right|\left[c_1^1=c_1-b c_3\right] \\ & =\left(1+a^2+b^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 a b & -2 b \\ 0 & 1-a^2+b^2 & 2 a \b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right| \\ & =\left(1+a^2+b^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^2+b^2 & 2 a \b & -a\left(1+a^2+b^2\right) & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|\left[c_2^{\prime}=c_2+a c_3\right]\end{aligned}
\end{array}
=\left(1+a^2+b^2\right)^2\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \b & -a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
(প্রমাণিত)\end{array}
উত্তর
দেওয়া আছে, P=\left[\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right]
এখন, হলে,
\mathbf{P}=\left[\[\begin{array}{ccc}1+1-1 & 2 & -2 \\ 2 & 1-1+1 & 2 \\ 2 & -2 & 1-1-1\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{ccr}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\]\right]
\begin{aligned} \therefore \quad|\mathbb{P}| & =\left|\begin{array}{rrr}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & -1\end{aligned}\right| \\ & =1(-1+4)-2(-2-4)-2(-4-2)=3+12+12=27 \neq 0\end{aligned}
\end{array}
বিদ্যমান।
P এর সহগুণকসমূহ:
\begin{aligned} & P_{11}=\left|\begin{array}{rr}1 & 2 \\ -2 & -1\end{aligned}\right|=-1+4=3 \\ & P_{12}=-\left|\[\begin{array}{rr}2 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right|=-(-2-4)=6 \\ & P_{13}=\left|\[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ 2 & -2\end{array}\]\right|=-4-2=-6 \\ & P_{21}=-\left|\[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & -1\end{array}\]\right|=-(-2-4)=6 \\ & P_{22}=\left|\[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 2 & -1\end{array}\]\right|=-1+4=3 \\ & P_{23}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 2 & -2\end{array}\]\right|=-(-2-4)=6\end{aligned}
\end{array}
\begin{aligned} & P_{31}=\left|\begin{array}{rr}2 & -2 \\ 1 & 2\end{aligned}\right|=4+2=6 \\ & P_{32}=-\left|\[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 2 & 2\end{array}\]\right|=4+2=6 \\ & P_{33}=\left|\[\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\]\right|=1-4=-3\end{aligned}
\end{array}
Adj. P=\left[\[\begin{array}{lll}P_{11} & P_{12} & P_{13} \P_{21} & P_{22} & P_{23} \P_{31} & P_{32} & P_{33}\end{array}\]\right]=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & 6 & -6 \\ 6 & 3 & 6 \\ 6 & -6 & -3\end{array}\]\right]^T=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & 6 & 6 \\ 6 & 3 & -6 \\ -6 & 6 & -3\end{array}\]\right]
Adj P
\begin{aligned} & =\frac{1}{27}\left[\begin{array}{rrr}3 & 6 & 6 \\ 6 & 3 & -6 \\ -6 & 6 & -3\end{aligned}\right]=\frac{3}{27}\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1\end{array}\]\right] \\ & =\frac{1}{9}\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1\end{array}\]\right] \end{aligned}
\end{array}
নির্ণেয় P^{-1}=\frac{1}{9}\left[\[\begin{array}{rrr}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2 \\ -2 & 2 & -1\end{array}\]\right]\end{array}