বিস্তার না করে প্রমাণ কর [গণিত] .
উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] ১ম ও ৩য় কলাম একই [গণিত] ২য় ও ৩য় কলাম একই [গণিত] ডানপক্ষ
HSC Higher Math 1st Paper Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 1st Paper · Chapter 1: ম্যাট্রিকস ও নির্ণায়ক · সৃজনশীল
বিস্তার না করে প্রমাণ কর .
উদ্দীপক
দশ্যকল্প-১ : B =\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right] এবং
দৃশ্যকল্প-২ : P=\left[\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right]
সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025
উত্তর
বামপক্ষ =\left|\[\begin{array}{lll}a & -x & a+x \b & -y & b+y \c & -z & c+z\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{lll}a & -x & a \b & -y & b \c & -z & c\end{array}\]\right|+\left|\[\begin{array}{lll}a & -x & x \b & -y & y \c & -z & z\end{array}\]\right|
=0+(-1)\left|\[\begin{array}{lll}a & x & x \b & y & y \c & z & z\end{array}\]\right|[\because ১ম ও ৩য় কলাম একই
২য় ও ৩য় কলাম একই
ডানপক্ষ
উত্তর
দেওয়া আছে, B=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right]
এখন, হলে,
D =\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\]\right]^t
\therefore D =\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\]\right] \cdot
\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{crr}9+8-2 & -6-2+0 & -3+2-1 \\ -12-4-2 & 8+1-0 & 4-1-1 \\ 6+0+2 & -4+0+0 & -2+0+1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}15 & -8 & -2 \\ -18 & 9 & 2 \\ 8 & -4 & -1 \end{array}\]\right]
প্রদত্ত রাশি
=\left[\[\begin{array}{rrr}15 & -8 & -2 \\ -18 & 9 & 2 \\ 8 & -4 & -1\end{array}\]\right]-5\left[\[\begin{array}{rrr}3 & -2 & -1 \\ -4 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\]\right]+6\left[\[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}15 & -8 & -2 \\ -18 & 9 & 2 \\ 8 & -4 & -1\end{array}\]\right]-\left[\[\begin{array}{rrr}15 & -10 & -5 \\ -20 & 5 & -5 \\ 10 & 0 & 5\end{array}\]\right]+\left[\[\begin{array}{lll}6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6\end{array}\]\right]
=\left[\[\begin{array}{rrr}6 & 2 & 3 \\ 2 & 10 & 7 \\ -2 & -4 & 0\end{array}\]\right]
\therefore D^2-5 D+6 I=\left[\[\begin{array}{rrr}6 & 2 & 3 \\ 2 & 10 & 7 \\ -2 & -4 & 0\end{array}\]\right] .
উত্তর
দেওয়া আছে, P=\left[\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right]
\therefore |P| =\left|\[\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2 & 2 a b & -2 b \\ 2 a b & 1-a^2+b^2 & 2 a \\ 2 b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
=\left|\[\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2 & 2 a b & -2 b \\ 0 & 1-a^2+b^2 & 2 a \b\left(1+a^2+b^2\right) & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|\left[c_1^{\prime}=c_1-b c_3\right]
=\left(1+a^2+b^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 2 a b & -2 b \\ 0 & 1-a^2+b^2 & 2 a \b & -2 a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
=\left(1+a^2+b^2\right)\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1+a^2+b^2 & 2 a \b & -a\left(1+a^2+b^2\right) & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|\left[c_2^{\prime}=c_2+a c_3\right]
=\left(1+a^2+b^2\right)^2\left|\[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -2 b \\ 0 & 1 & 2 a \b & -a & 1-a^2-b^2\end{array}\]\right|
. (দেখানো হলো)