(42x 2 - 13x + 1)¯¹ এর বিস্তৃতিতে xn এর সহগ নির্ণয় কর।
উত্তর: [গণিত] বিস্তৃতিতে xn এর সহগ = 7. [গণিত]
HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক
HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 5: দ্বিপদী বিস্তৃতি · সৃজনশীল
(42x 2 - 13x + 1)¯¹ এর বিস্তৃতিতে xn এর সহগ নির্ণয় কর।
উদ্দীপক
(1 + 2y)m একটি বীজগাণিতিক রাশি।
Sylhet · 2017
উত্তর
\begin{aligned} & \left(42 x^2-13 x+1\right)^{-1}=\frac{1}{42 x^2-13 x+1} \\ & =\frac{1}{1-7 x-6 x+42 x^2} \\ & =\frac{1}{1(1-7 x}-6 x(1-7 x)} \\ & =\frac{1}{(1-7 x}(1-6 x)} \\ & =\frac{7}{1-7 x}-\frac{6}{1-6 x} \\ & =7(1-7 x)^{-1}-6(1-6 x)^{-1} \\ & =7\left(1+7 x+7^2 x^2+7^3 x^3+\ldots \ldots+7^n x^n+\ldots \ldots\right) \\ & \quad-6\left(1+6 x+6^2 x^2+6^3 x^3+\ldots . .+6^n x^n+\ldots \ldots .\right)\end{aligned}
বিস্তৃতিতে xn এর সহগ = 7.
উত্তর
প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি =
হলে,
এখানে, 2n একটি জোড় সংখ্যা। :: (1+2y)
এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ থাকবে একটি।
মধ্যপদটি হবে তম বা (n+1) তম পদ।
তম পদ
\begin{aligned} & =\frac{(2 n)!}{n!(2 n-n}!} 2^n y^n \\ & =\frac{(2 n)!}{n!n!} 2^n y^n \\ & =\frac{1.2 .3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \ldots \ldots .(2 n-1) 2 n}{n!n!} 2^n y^n \\ & =\frac{\{1.3 \cdot 5 \ldots \ldots .(2 n-1)\}(2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots \ldots .2 n)}{n!n!} 2^n y^n \\ & =\frac{\{1.3 \cdot 5 \ldots .(2 n-1)\}\{(2.1) \cdot(2.2) \cdot(2.3) \ldots .(2 n)\}}{n!n!} 2^2 y^n \\ & =\frac{\{1.3 \cdot 5 \ldots \ldots .(2 n-1)\} 2^n(1.2 \cdot 3 \ldots \ldots . n)}{n!n!} 2^n y^n \\ & =\frac{\{1.3 .5 \ldots \ldots .(2 n-1)\} \cdot n!}{n!n!} 2^{2 n} y^n \\ & =\frac{1.3 .5 \ldots \ldots .(2 n-1)}{n!} 2^{2 n} y^n\end{aligned}
∴ রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদের মান .
(দেখানো হলো)
উত্তর
প্রদত্ত বীজগাণিতিক রাশি
m = 20 হলে, (1 + 2y)m = (1 + 2y)20
মনে করি, রাশিটির বিস্তৃতিতে ক্রমিক পদ দুইটি যথাক্রমে (r + 1) তম পদ
এবং (r + 2) তম পদ।
(r +1) তম পদ =
(r + 2) তম পদ =
বা,
বা, \frac{\frac{20!}{r!(20-r}!} \cdot 2^r}{\frac{20!}{(r+1}!(20-r-1)!} \cdot 2^r \cdot 2}=\frac{11}{20}
বা, \frac{\frac{20!}{r!(20-r}(20-r-1)!}}{20!}=\frac{11}{20}
বা,
বা,
বা,
বা,
বা,
বা,
∴ ক্রমিক পদ দুইটি যথাক্রমে (10+1) তম বা 11 তম পদ = 20C10(2y) 10
এবং (10+2) তম বা 12 তম পদ = 20C10(2y) 11
নির্ণেয় 11 তম পদ
এবং 12 তম পদ