Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

চিত্র-২ হতে: যদি [গণিত] এবং [গণিত] হয়, তবে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] এবং [গণিত] এর অন্তঃকেন্দ্র [গণিত] হতে [গণিত] বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। লামির উপপাদ্য অনুসারে, [গণিত] বা, [গণিত] এর অন্তঃকেন্দ্র I] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অনুরূপভাবে, [গণিত] এবং [গণিত] . [গণিত] নং হতে পাই [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বा, [গণিত] বा, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 6: কনিক CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 6: কনিক · সৃজনশীল

চিত্র-২ হতে: যদি এবং হয়, তবে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

question image question image চিত্র-১ চিত্র-২

কুমিল্লা ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

মনে করি, বল দুইটির মান PP ও QQ, এদের মধ্যবর্তী কোণ = α\alpha এবং লব্ধি =R=R । আরও ধরি লব্ধি R,QR, Q বলের উপর লম্ব হয় এবং R=P3R=\frac{P}{3} QQ বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর বলগুলির লমাংশ নিয়ে পাই, Pcos⁡α+Qcos⁡0∘=Rcos⁡90∘\mathrm{P} \cos \alpha+\mathrm{Q} \cos 0^{\circ}=\mathrm{R} \cos 90^{\circ} বা, cos⁡α=−QP\cos \alpha=\frac{-Q}{P}………(1)\ldots\ldots\ldots(1) আবার, (p3)2=P2+Q2+2PQcos⁡α\left(\frac{p}{3}\right)^2=P^2+Q^2+2 P Q \cos \alpha বা, P2=9(P2+Q2+2PQ⋅−QP)P^2=9\left(P^2+Q^2+2 P Q \cdot \frac{-Q}{P}\right)[(i)নং হতে] =9P2+9Q2−18Q2=9 P^2+9 Q^2-18 Q^2 বা, Q2P2=89\frac{\mathrm{Q}^2}{\mathrm{P}^2}=\frac{8}{9} বা, QP=223\frac{Q}{P}=\frac{2 \sqrt{2}}{3} ∴Q:P=22:3\therefore \quad \mathrm{Q}: \mathrm{P}=2 \sqrt{2}: 3 ∴\therefore বলদ্বয়ের মানের অনুপাত 22:32 \sqrt{2}: 3. (প্রমাণিত)

উত্তর

মনে করি, AA ও BB বিন্দুতে যথাক্রমে PP ও QQ বলদ্বয় কার্যরত। এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু CC। ∴P⋅AC=Q⋅BC\therefore \quad \mathrm{P} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{Q} \cdot \mathrm{BC} বা, ACBC=QP\frac{A C}{B C}=\frac{Q}{P}……….(1)\ldots\ldots\ldots.(1) PP কে (R+3)(R+3) পরিমাণ এবং QQ কে (S+2)(S+2) পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু CC বিন্দুতে থাকে.। ∴(P+R+3)⋅AC=(Q+S+2)⋅BC\therefore(P+R+3) \cdot A C=(Q+S+2) \cdot B C বা, ACBC=Q+S+2P+R+3\frac{A C}{B C}=\frac{Q+S+2}{P+R+3} ……….(2)\ldots\ldots\ldots.(2) আবার, PP এর পরিবর্তে QQ এবং QQ এর পরিবর্তে (R+3)(R+3)বল ক্রিয়া করলেও লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু CC বিন্দুতে থাকে। ∴Q⋅AC=(R+3)⋅BC\therefore \quad Q \cdot A C=(R+3) \cdot B C বা, ACBC=R+3Q\frac{A C}{B C}=\frac{R+3}{Q}……….(3)\ldots\ldots\ldots.(3) (1),(2)(1), (2) ও (3)(3) নং সমীকরণ হতে পাই, QP=Q+S+2P+R+3=R+3Q\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2}{P+R+3}=\frac{R+3}{Q}……….(4)\ldots\ldots\ldots.(4) ∴QB=Q+S+2B+R+3\therefore \quad \frac{Q}{B}=\frac{Q+S+2}{B+R+3} বা, QP=Q+S+2−QP+R+3−P=S+2R+3\frac{Q}{P}=\frac{Q+S+2-Q}{P+R+3-P}=\frac{S+2}{R+3} ∴QP=S+2R+3\therefore \quad \frac{Q}{P}=\frac{S+2}{R+3} ……….(5)\ldots\ldots\ldots.(5) (4)(4) ও (5)(5) নং সমীকরণ হতে পাই QP=R+3Q=S+2R+3\frac{Q}{P}=\frac{R+3}{Q}=\frac{S+2}{R+3} বা, Q−R−3P−Q=R+3−S−2Q−R−3\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R+3-S-2}{Q-R-3} বা, Q−R−3P−Q=R−S+1Q−R−3\frac{Q-R-3}{P-Q}=\frac{R-S+1}{Q-R-3} বা, (P−Q)(R−S+1)=(Q−R−3)2(\mathrm{P}-\mathrm{Q})(\mathrm{R}-\mathrm{S}+1)=(\mathrm{Q}-\mathrm{R}-3)^2. বা, R−S+1=(Q−R−3)2P−Q\mathrm{R}-\mathrm{S}+1=\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R}-3)^2}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} ∴R=S+(Q−R−3)2P−Q−1\therefore \quad \mathrm{R}=\mathrm{S}+\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R}-3)^2}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}-1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, BC=a=3 cm,CA=b=5 cmএবংAB=c=7 cm.∴cos⁡A=b2+c2−a22bc=52+72−322×5×7=1314\begin{aligned} & \mathrm{BC}=\mathrm{a}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{CA}=\mathrm{b}=5 \mathrm{~cm} এবং \mathrm{AB}=\mathrm{c}=7 \mathrm{~cm} . \\ \therefore \quad & \cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2}{2 \mathrm{bc}}=\frac{5^2+7^2-3^2}{2 \times 5 \times 7}=\frac{13}{14}\end{aligned} এবং cos⁡B=c2+a2−b22ca=72+32−522×7×3=1114\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}=\frac{7^2+3^2-5^2}{2 \times 7 \times 3}=\frac{11}{14} এবং cos⁡C=a2+b2−c22ab=32+52−722×3×5=−12\cos \mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2}{2 \mathrm{ab}}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2 \times 3 \times 5}=-\frac{1}{2} △ABC\triangle \mathrm{ABC} এর অন্তঃকেন্দ্র II হতে P,Q,RP, Q, R বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। লামির উপপাদ্য অনুসারে, Psin⁡∠BIC=Qsin⁡∠AIC=Rsin⁡∠AIB\frac{P}{\sin \angle B I C}=\frac{Q}{\sin \angle A I C}=\frac{R}{\sin \angle A I B}….(i)\ldots.(i) ΔBIC−Ω,∠BIC+∠IBC+∠ICB=π\Delta \mathrm{BIC}-\Omega, \angle \mathrm{BIC}+\angle \mathrm{IBC}+\angle \mathrm{ICB}=\pi বা, ∠BIC+B2+C2=π[∵ΔABC\angle \mathrm{BIC}+\frac{\mathrm{B}}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2}=\pi \quad[\because \Delta \mathrm{ABC} এর অন্তঃকেন্দ্র I] বা, ∠BIC=π−12( B+C)\angle \mathrm{BIC}=\pi-\frac{1}{2}(\mathrm{~B}+\mathrm{C}) বা, ∠BIC=π−12(π−A)=π2+A2\angle \mathrm{BIC}=\pi-\frac{1}{2}(\pi-\mathrm{A})=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{A}}{2} অনুরূপভাবে, ∠AIC=π2+B2\angle \mathrm{AIC}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{B}}{2} এবং ∠AIB=π2+C2\angle \mathrm{AIB}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2}. ∴\therefore (i)(i)নং হতে পাই Psin⁡(π2+A2)=Qsin⁡(π2+B2)=Rsin⁡(π2+C2)\frac{\mathrm{P}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{A}{2}\right)}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{B}{2}\right)}=\frac{\mathrm{R}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{C}{2}\right)} বা, Pcos⁡A2=Qcos⁡B2=Rcos⁡C2\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}} বা, P2cos⁡2A2=Q2cos⁡2B2=R2cos⁡2C2\frac{\mathrm{P}^2}{\cos^2 \frac{A}{2}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{\cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{\mathrm{R}^2}{\cos^2 \frac{C}{2}} বা, P22cos⁡2 A2=Q22cos⁡2B2=R22cos⁡2C2\frac{\mathrm{P}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{~A}}{2}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{\mathrm{R}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{C}}{2}} বা, P21+cos⁡A=Q21+cos⁡B=R21+cos⁡C\frac{\mathrm{P}^2}{1+\cos \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{1+\cos \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{R}^2}{1+\cos \mathrm{C}} বा, P21+1314=Q21+1114=R21−12\frac{\mathrm{P}^2}{1+\frac{13}{14}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{1+\frac{11}{14}}=\frac{\mathrm{R}^2}{1-\frac{1}{2}} বा, P22714=Q22514=R212\frac{\mathrm{P}^2}{\frac{27}{14}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{\frac{25}{14}}=\frac{\mathrm{R}^2}{\frac{1}{2}} বা, P227=Q225=R27\frac{\mathrm{P}^2}{27}=\frac{\mathrm{Q}^2}{25}=\frac{\mathrm{R}^2}{7} ∴P2:Q2:R2=27:25:7\therefore \quad \mathrm{P}^2: \mathrm{Q}^2: \mathrm{R}^2=27: 25: 7. (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 6: কনিক
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : 16x2−9y2+144=016 x^{2}-9 y^{2}+144=0 একটি কণিকের সমীকরণ । কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : 16x2−9y2+144=016 x^{2}-9 y^{2}+144=0 একটি কণিকের সমীকরণ । কণিকটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : 25x2−16y2+400=025 x^{2}-16 y^{2}+400=0 একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ। অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : 25x2−16y2+400=025 x^{2}-16 y^{2}+400=0 একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ । অধিবৃত্তের শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক কোনটি?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 9x2+4y2=3249 x^{2}+4 y^{2}=324 একটি কণিকের সমীকরণ। উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: 9x2+4y2=3249 x^{2}+4 y^{2}=324 একটি কণিকের সমীকরণ। উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : 5x2+7y2=15 x^{2}+7 y^{2}=1 উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : 5x2+7y2=15 x^{2}+7 y^{2}=1 উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য কত?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=−yx^{2}=-y একটি কণিক - কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=−yx^{2}=-y একটি কণিক । কণিকটির নিয়ামকের সমীকরণ কোনটি?

Sylhet · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=4(1−y)x^{2}=4(1-y) একটি কণিক। কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: x2=4(1−y)x^{2}=4(1-y) একটি কণিক। কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা—

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি কণিকের সমীকরণ । কণিকটির উনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি কণিকের সমীকরণ । কণিকটির শউদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ। অধিবৃত্তটির উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ । অধিবৃত্তের নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিকের সমীকরণ। উপকেন্দ্রেরনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিকের সমীকরণ। উপকেন্দ্রিকনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] উপবৃত্তটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য কতনিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক - কণিকটির উপকেন্দ্রের স্নিচের তথ্যের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক । কণিকটির নিয়ামকের সমীকনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক। কণিকটির উপকেন্দ্রের নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও: [গণিত] একটি কণিক। কণিকটির উৎকেন্দ্রিকত

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন