চিত্র-২ হতে: যদি $\mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{CA}=5 \mathrm{~cm}$ এবং $ AB = 7cm$ হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\mathrm{P}^2: \mathrm{Q}^2: \mathrm{R}^2=27: 25: 7$

Question

Accepted Answer

দেওয়া আছে, $\begin{aligned} & \mathrm{BC}=\mathrm{a}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{CA}=\mathrm{b}=5 \mathrm{~cm} এবং \mathrm{AB}=\mathrm{c}=7 \mathrm{~cm} . \ 	herefore \quad & \cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{b}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{a}^2}{2 \mathrm{bc}}=\frac{5^2+7^2-3^2}{2 	imes 5 	imes 7}=\frac{13}{14}\end{aligned}$ এবং $\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2 c a}=\frac{7^2+3^2-5^2}{2 	imes 7 	imes 3}=\frac{11}{14}$ এবং $\cos \mathrm{C}=\frac{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2-\mathrm{c}^2}{2 \mathrm{ab}}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2 	imes 3 	imes 5}=-\frac{1}{2}$ $	riangle \mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র $I$ হতে $P, Q, R$ বলত্রয় ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। লামির উপপাদ্য অনুসারে, $\frac{P}{\sin \angle B I C}=\frac{Q}{\sin \angle A I C}=\frac{R}{\sin \angle A I B}$$\ldots.(i)$ $\Delta \mathrm{BIC}-\Omega, \angle \mathrm{BIC}+\angle \mathrm{IBC}+\angle \mathrm{ICB}=\pi$ বা, $\angle \mathrm{BIC}+\frac{\mathrm{B}}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2}=\pi \quad[\because \Delta \mathrm{ABC}$ এর অন্তঃকেন্দ্র I] বা, $\angle \mathrm{BIC}=\pi-\frac{1}{2}(\mathrm{~B}+\mathrm{C})$ বা, $\angle \mathrm{BIC}=\pi-\frac{1}{2}(\pi-\mathrm{A})=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{A}}{2}$ অনুরূপভাবে, $\angle \mathrm{AIC}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{B}}{2}$ এবং $\angle \mathrm{AIB}=\frac{\pi}{2}+\frac{\mathrm{C}}{2}$. $	herefore$ $(i)$নং হতে পাই $\frac{\mathrm{P}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{A}{2}ight)}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{B}{2}ight)}=\frac{\mathrm{R}}{\sin \left(\frac{\pi}{2}+\frac{C}{2}ight)}$ বা, $\frac{P}{\cos \frac{A}{2}}=\frac{Q}{\cos \frac{B}{2}}=\frac{R}{\cos \frac{C}{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{P}^2}{\cos^2 \frac{A}{2}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{\cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{\mathrm{R}^2}{\cos^2 \frac{C}{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{P}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{~A}}{2}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{2 \cos^2 \frac{B}{2}}=\frac{\mathrm{R}^2}{2 \cos^2 \frac{\mathrm{C}}{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{P}^2}{1+\cos \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{1+\cos \mathrm{B}}=\frac{\mathrm{R}^2}{1+\cos \mathrm{C}}$ বा, $\frac{\mathrm{P}^2}{1+\frac{13}{14}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{1+\frac{11}{14}}=\frac{\mathrm{R}^2}{1-\frac{1}{2}}$ বा, $\frac{\mathrm{P}^2}{\frac{27}{14}}=\frac{\mathrm{Q}^2}{\frac{25}{14}}=\frac{\mathrm{R}^2}{\frac{1}{2}}$ বা, $\frac{\mathrm{P}^2}{27}=\frac{\mathrm{Q}^2}{25}=\frac{\mathrm{R}^2}{7}$ $	herefore \quad \mathrm{P}^2: \mathrm{Q}^2: \mathrm{R}^2=27: 25: 7$. (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper CQ — চিত্র-২ হতে: যদি $\mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{CA}=5 \mathrm{~cm}

আরো প্রশ্ন দেখো