Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে; [গণিত] .

উত্তর: ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে; .

উদ্দীপক

A=sin⁡−123,B=cos⁡−134,C=tan⁡−115A=\sin^{-1} \frac{2}{3}, B=\cos^{-1} \frac{3}{4}, C=\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} এবং f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x.

Sylhet · 2023

উত্তর

ধরি, cos⁡−1x=θ∴cos⁡θ=x\cos^{-1} x=\theta \therefore \cos \theta=x বা, 1+cos⁡θ=1+x1+\cos \theta=1+x বা, 2cos⁡2θ2=1+x2 \cos^2 \frac{\theta}{2}=1+x বা, cos⁡2θ2=1+x2\cos^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1+x}{2} বা, cos⁡θ2=1+x2\cos \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+x}{2}} বা, θ2=cos⁡−11+x2\frac{\theta}{2}=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} বা, θ=2cos⁡−11+x2\theta=2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} ∴cos⁡−1x=2cos⁡−11+x2\therefore \cos^{-1} x=2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=sin⁡−123,B=cos⁡−134,C=tan⁡−115A=\sin^{-1} \frac{2}{3}, B=\cos^{-1} \frac{3}{4}, C=\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} question image ধরি, B=cos⁡−134=θB=\cos^{-1} \frac{3}{4}=\theta বা, cos⁡θ=34\cos \theta=\frac{3}{4} ∴sin⁡θ=74\therefore \sin \theta=\frac{\sqrt{7}}{4} tan⁡θ2=sin⁡θ2cos⁡θ2=2sin⁡θ2cos⁡θ22cos⁡2θ2=sin⁡θ1+cos⁡θ=741+34=7474\tan \frac{\theta}{2}=\frac{\sin \frac{\theta}{2}}{\cos \frac{\theta}{2}}=\frac{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{1+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{7}{4}} ∴tan⁡θ2=17\therefore \tan \frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt{7}} বা, θ2=tan⁡−117\frac{\theta}{2}=\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} ∴12cos⁡−134=tan⁡−117\therefore \frac{1}{2} \cos^{-1} \frac{3}{4}=\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} question image বামপক্ষ =A−12B+C=A-\frac{1}{2} B+C =sin⁡−123−12cos⁡−134+tan⁡−115=\sin^{-1} \frac{2}{3}-\frac{1}{2} \cos^{-1} \frac{3}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} =sin⁡−123−tan⁡−117+tan⁡−115=\sin^{-1} \frac{2}{3}-\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}}+\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} =tan⁡−125+tan⁡−115−tan⁡−117=\tan^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}+\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}-\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} =tan⁡−125+151−25⋅15−tan⁡−117=\tan^{-1} \frac{\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}}}{1-\frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}-\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} =tan⁡−1355−25−tan⁡−117=\tan^{-1} \frac{\frac{3}{\sqrt{5}}}{\frac{5-2}{5}}-\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}} =tan⁡−15−tan⁡−117=tan⁡−15−171+5⋅17=\tan^{-1} \sqrt{5}-\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{7}}=\tan^{-1} \frac{\sqrt{5}-\frac{1}{\sqrt{7}}}{1+\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{7}}} =tan⁡−135−177+57=tan⁡−1(35−17×77+5)=\tan^{-1} \frac{\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}}}=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}} \times \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right) =tan⁡−1(735−17+5)==\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{\frac{7}{35}}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right)= ডানপক্ষ ∴A−12B+C=tan⁡−1(35−17+5)\therefore A-\frac{1}{2} B+C=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{35}-1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}\right) (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x ∴f(2x)=sin⁡2x\therefore f(2 x)=\sin 2 x ∴f(3x)=sin⁡3x\therefore f(3 x)=\sin 3 x এখানে f(x)+f(2x)+f(3x)=0f(\mathrm{x})+f(2 \mathrm{x})+f(3 \mathrm{x})=0 বা, sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=0 বা, sin⁡3x+sin⁡x+sin⁡2x=0\sin 3 x+\sin x+\sin 2 x=0 বা, 2sin⁡3x+x2cos⁡3x−x2+sin⁡2x=02 \sin \frac{3 x+x}{2} \cos \frac{3 x-x}{2}+\sin 2 x=0 বা, 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=02 \sin 2 x \cos x+\sin 2 x=0 বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)=0\sin 2 x(2 \cos x+1)=0 হয়, sin⁡2x=0\sin 2 x=0 ∴2x=nπ;n∈Z\therefore 2 \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi ; \mathrm{n} \in \mathrm{Z} বা, x=nπ2x=\frac{n \pi}{2} অথবা, 2cos⁡x+1=02 \cos x+1=0 বা, 2cos⁡x=−12 \cos x=-1 বা, cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2} ∴x=2nπ±2π2;n∈Z\therefore x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{2} ; n \in \mathbb{Z} n=0\mathrm{n}=0 হলে, x=0,±2π3\mathrm{x}=0, \pm \frac{2 \pi}{3} n=1\mathrm{n}=1 হলে, x=π2,2π±2π3=π2,8π3,4π3\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}, 2 \pi \pm \frac{2 \pi}{3}=\frac{\pi}{2}, \frac{8 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3} x=2x=2 হলে, x=π,14π3,10π3x=\pi, \frac{14 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3} 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi ব্যবধিতে θ=0,2π3,π2,π\theta=0, \frac{2 \pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \pi নির্ণেয় সমাধান : θ=0,π2,2π3,π\theta=0, \frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}, \pi.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
প্রশ্ন পাওয়া যায়নি | Prosthuti