Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এ [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এ হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: P=cos⁡−1(x3),Q=cos⁡−1(y2)P=\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right), Q=\cos^{-1}\left(\frac{y}{2}\right). দৃশ্যকল্প-2 : f(x)=sin⁡xf(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}.

Dinajpur · 2023

উত্তর

cos⁡2(sin⁡−113)−sin⁡2(cos⁡−112)\cos^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right) =1−sin⁡2(sin⁡−113)−1+cos⁡2(cos⁡−112)=1-\sin^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)-1+\cos^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right) =1−{sin⁡(sin⁡−113)}2−1+{cos⁡(cos⁡−112)}2=1-\left\{\sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\}^{2}-1+\left\{\cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right\}^{2} =1−(13)2−1+(12)2=1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}-1+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} =−13+12=−2+36=16=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{-2+3}{6}=\frac{1}{6} নির্ণেয় মান : 16\frac{1}{6}

উত্তর

দেওয়া আছে, P=cos⁡−1(x3),Q=cos⁡−1(y2)P=\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right), Q=\cos^{-1}\left(\frac{y}{2}\right) এখন, P+Q=θ\mathrm{P}+\mathrm{Q}=\theta হলে, cos⁡−1(x3)+cos⁡−1(y2)=θ\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+\cos^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=\theta বা, cos⁡−1(x3⋅y2−1−(x3)21−(y2)2)=θ\cos^{-1}\left(\frac{x}{3} \cdot \frac{y}{2}-\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{y}{2}\right)^{2}}\right)=\theta বা, xy6−1−x291−y24=cos⁡θ\frac{x y}{6}-\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} \sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}}=\cos \theta বা, xy6−cos⁡θ=1−x291−y24\frac{x y}{6}-\cos \theta=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{9}} \sqrt{1-\frac{y^{2}}{4}} বা, x2y236−2⋅xy6cos⁡θ+cos⁡2θ=(1−x29)(1−y24)\frac{x^{2} y^{2}}{36}-2 \cdot \frac{x y}{6} \cos \theta+\cos^{2} \theta=\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{4}\right) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে] বা, x2y236−xy3cos⁡θ+cos⁡2θ=1−y24−x29+x2y236\frac{x^{2} y^{2}}{36}-\frac{x y}{3} \cos \theta+\cos^{2} \theta=1-\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{9}+\frac{x^{2} y^{2}}{36} বা, x29−xy3cos⁡θ+y24=1−cos⁡2θ\frac{x^{2}}{9}-\frac{x y}{3} \cos \theta+\frac{y^{2}}{4}=1-\cos^{2} \theta বা, 4x2−12xycos⁡θ+9y236=sin⁡2θ\frac{4 x^{2}-12 x y \cos \theta+9 y^{2}}{36}=\sin^{2} \theta ∴4x2−12xycos⁡θ+9y2=36sin⁡2θ\therefore \quad 4 x^{2}-12 x y \cos \theta+9 y^{2}=36 \sin^{2} \theta. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x f(2x)=sin⁡2xf(2 x)=\sin 2 x f(3x)=sin⁡3xf(3 x)=\sin 3 x f(π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡xf\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x f(π2−2x)=sin⁡(π2−2x)=cos⁡2xf\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\cos 2 x প্রদত্ত সমীকরণ, f(x)+f(2x)+f(3x)=1+f(π2−x)+f(π2−2x)f(x)+f(2 x)+f(3 x)=1+f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)+f\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) বা, sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=1+cos⁡x+cos⁡2x\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=1+\cos x+\cos 2 x বা, sin⁡3x+sin⁡x+sin⁡2x=1+cos⁡2x+cos⁡x\sin 3 x+\sin x+\sin 2 x=1+\cos 2 x+\cos x বা, 2⋅sin⁡3x+x2cos⁡3x−x2+sin⁡2x=2cos⁡2x+cos⁡x2 \cdot \sin \frac{3 x+x}{2} \cos \frac{3 x-x}{2}+\sin 2 x=2 \cos^{2} x+\cos x বা, 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=cos⁡x(2cos⁡x+1)2 \sin 2 x \cos x+\sin 2 x=\cos x(2 \cos x+1) বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)=cos⁡x(2cos⁡x+1)\sin 2 x(2 \cos x+1)=\cos x(2 \cos x+1) বা, sin⁡2x(2cos⁡x+1)−cos⁡x(2cos⁡x+1)\sin 2 x(2 \cos x+1)-\cos x(2 \cos x+1) বা, (2cos⁡x+1)(sin⁡2x−cos⁡x)=0(2 \cos x+1)(\sin 2 x-\cos x)=0 হয় 2cos⁡x+1=02 \cos x+1=0 \quad বা, cos⁡x=−12\cos x=-\frac{1}{2} বা, cos⁡x=−cos⁡π3\cos x=-\cos \frac{\pi}{3} বা, cos⁡x=cos⁡(π−π3)\cos x=\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right) বা, cos⁡x=cos⁡2π3\cos x=\cos \frac{2 \pi}{3} ∴x=2nπ±2π3\therefore \quad x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} যেখানে n পূর্ণসংখ্য অথবা, sin⁡2x−cos⁡x=0\quad \sin 2 x-\cos x=0 বা, 2sin⁡xcos⁡x−cos⁡x=02 \sin x \cos x-\cos x=0 বা, cos⁡x(2sin⁡x−1)=0\cos x(2 \sin x-1)=0 আবার, হয় cos⁡x=0\cos x=0 অথবা, 2sin⁡x−1=02 \sin x-1=0 বা, cos⁡x=cox⁡π2\cos x=\operatorname{cox} \frac{\pi}{2} বা, sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} ∴x=(2n+1)π2\therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} যেখানে nn পূর্ণসংখ্যা বা, sin⁡x=sin⁡π6\sin x=\sin \frac{\pi}{6} ∴x=nπ+(−1)nπ6\therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6} যেখানে n পূর্ণসংখ্যা নির্ণেয় সমাধান, (2n+1)π2,2nπ±2π3,nπ+(−1)nπ6(2 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{2}, 2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, \mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6}; যেখানে n\mathrm{n} যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণDinajpur
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন