Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দেওয়া আছে, φ(x)=cos⁡−1x\varphi(x)=\cos^{-1} x এবং h(θ)=cos⁡θ−sin⁡θh(\theta)=\cos \theta-\sin \theta

Barisal · 2022

উত্তর

 বামপক্ষ =sin⁡2(cos⁡−113)−cos⁡2(sin⁡−113)=1−cos⁡2(cos⁡−113)−{1−sin⁡2(sin⁡−113)}=1−{cos⁡(cos⁡−113)}2−1+{sin⁡(sin⁡−113)}2=−(13)2+(13)2=−19+13=−1+39=29= ডানপক্ষ \begin{aligned}\text{ বামপক্ষ } & =\sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\& =1-\cos^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)-\left\{1-\sin^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\} \\& =1-\left\{\cos \left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)\right\}^{2}-1+\left\{\sin \left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\}^{2} \\& =-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} \\& =-\frac{1}{9}+\frac{1}{3}=\frac{-1+3}{9}=\frac{2}{9} \\& =\text{ ডানপক্ষ }\end{aligned} ∴sin⁡2(cos⁡−113)−cos⁡2(sin⁡−113)=29\therefore \sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{9} (প্রমাণিত)

উত্তর

φ(x)+φ(y)+φ(z)=π হলে, \varphi(\mathrm{x})+\varphi(\mathrm{y})+\varphi(\mathrm{z})=\pi \text{ হলে, } বা, cos⁡−1x+cos⁡−1y+cos⁡−1z=π\cos^{-1} \mathrm{x}+\cos^{-1} \mathrm{y}+\cos^{-1} \mathrm{z}=\pi বা, cos⁡−1{xy−(1−x2)(1−y2)}=π−cos⁡−1z\cos^{-1}\left\{x y-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}\right\}=\pi-\cos^{-1} z বা, xy−(1−x2)(1−y2)=cos⁡(π−cos⁡−1z)x y-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}=\cos \left(\pi-\cos^{-1} z\right) বা, xy−(1−x2)(1−y2)=−cos⁡(cos⁡−1z)x y-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}=-\cos \left(\cos^{-1} z\right) বা, xy−(1−x2)(1−y2)=−zx y-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}=-z বা, (1−x2)(1−y2)=z+xy\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}=z+x y বা, (1−x2)(1−y2)=(z+xy)2\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)=(z+x y)^{2} [বর্গ করে ] বা, 1−y2−x2+x2y2=z2+x2y2+2xyz1-y^{2}-x^{2}+x^{2} y^{2}=z^{2}+x^{2} y^{2}+2 x y z ∴x2+y2+z2+2xyz=1\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+\mathrm{z}^{2}+2 \mathrm{xyz}=1 (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, h(θ)=cos⁡θ−sin⁡θ\mathrm{h}(\theta)=\cos \theta-\sin \theta প্রদত্ত সমীকরণ, h(θ)=12h(\theta)=\frac{1}{\sqrt{2}} বা, cos⁡θ−sin⁡θ=12\cos \theta-\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} বা, (cos⁡θ−sin⁡θ)2=(12)2(\cos \theta-\sin \theta)^{2}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2} [বর্গ করে] বা, cos⁡2θ+sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ=12\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta-2 \sin \theta \cos \theta=\frac{1}{2} বা, 1−sin⁡2θ=121-\sin 2 \theta=\frac{1}{2} বা, sin⁡2θ=1−12\sin 2 \theta=1-\frac{1}{2} বা, sin⁡2θ=12\sin 2 \theta=\frac{1}{2} বা, sin⁡2θ=sin⁡π6\sin 2 \theta=\sin \frac{\pi}{6} বা, 2θ=nπ+(−1)nπ62 \theta=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6} বা, θ=nπ2+(−1)nπ12\theta=\frac{\mathrm{n} \pi}{2}+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{12}, बেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathrm{Z} এখন, n=0\mathrm{n}=0 হলে, θ=π12\theta=\frac{\pi}{12} n=1\mathrm{n}=1 হলে, θ=5π12\theta=\frac{5 \pi}{12} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, θ=−7π12\theta=-\frac{7 \pi}{12} n=2\mathrm{n}=2 হলে, θ=13π12\theta=\frac{13 \pi}{12} n=−2\mathrm{n}=-2 হলে, θ=−11π12\theta=\frac{-11 \pi}{12}. n=3\mathrm{n}=3 হলে, θ=17π12\theta=\frac{17 \pi}{12} n=−3\mathrm{n}=-3 হলে, θ=−19π12\theta=\frac{-19 \pi}{12} কিন্তু 5π12\frac{5 \pi}{12} এবং −11π12\frac{-11 \pi}{12} মানসমূহ (−π,π)(-\pi, \pi) ব্যবধিতে থাকলে ও মানগুলি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না ∴(−π,π)\therefore(-\pi, \pi) ব্যবধিতে θ\theta এর মানসমূহ: π12,−7π12\frac{\pi}{12}, \frac{-7 \pi}{12} নির্ণেয় সমাধান : θ=π12,−7π12\theta=\frac{\pi}{12}, \frac{-7 \pi}{12}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন