Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে, [গণিত] সমীকরণের সমাধান কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] অথবা, [গণিত] নির্ণেয় সমাধানঃ [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে, সমীকরণের সমাধান কর।

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta. দৃশ্যকল্প-২: A=cosec⁡⁡−15−12sin⁡−135+tan⁡−114A=\operatorname{\cosec}^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\tan^{-1} \frac{1}{4}

Jessore · 2021

উত্তর

L.H.S=sec⁡2(tan⁡−115)+cosec⁡⁡2(cot⁡−113)L.H.S =\sec^{2}\left(\tan^{-1} \sqrt{15}\right)+\operatorname{\cosec}^{2}\left(\cot^{-1} \sqrt{13)}\right. =1+tan⁡2(tan⁡−115)+1+cot⁡2(cot⁡−113)=1+ \tan^{2}\left(\tan^{-1} \sqrt{15}\right)+1+\cot^{2}\left(\cot^{-1} \sqrt{13}\right) =2+15+13=2+15+13 =30=30 = R.H.S

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta প্রদত্ত সমীকরণ, 2f(π2−θ)⋅f(π2−3θ)+1=02 f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot f\left(\frac{\pi}{2}-3 \theta\right)+1=0 ⇒2cos⁡θ⋅cos⁡3θ+1=0\Rightarrow 2 \cos \theta \cdot \cos 3 \theta+1=0 ⇒cos⁡(3θ+θ)+cos⁡(3θ−θ)+1=0\Rightarrow \cos (3 \theta+\theta)+\cos (3 \theta-\theta)+1=0 ⇒cos⁡4θ+cos⁡2θ+1=0⇒2cos⁡22θ+cos⁡2θ=0⇒cos⁡2θ(2cos⁡2θ+1)=0∴cos⁡2θ=0⇒2θ=(2n+1)π2⇒θ=(2n+1)π4,n∈Z\begin{aligned}& \Rightarrow \cos 4 \theta+\cos 2 \theta+1=0 \\& \Rightarrow 2 \cos^{2} 2 \theta+\cos 2 \theta=0 \\& \Rightarrow \cos 2 \theta(2 \cos 2 \theta+1)=0 \\& \therefore \cos 2 \theta=0 \\& \Rightarrow 2 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} \\& \Rightarrow \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z}\end{aligned} অথবা, cos⁡2θ=−12=cos⁡2π3\cos 2 \theta=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} ⇒2θ=2nπ±2π3∴θ=nπ±π3,n∈Z\begin{aligned}& \Rightarrow 2 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \\& \therefore \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}\end{aligned} ∴\therefore নির্ণেয় সমাধানঃ x=(2n+1)π4,nπ±π3,n∈Zx=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে, A=cosec⁡⁡−15−12sin⁡−135+tan⁡−114\begin{aligned}& A=\operatorname{\cosec}^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} \\ &+\tan^{-1} \frac{1}{4}\end{aligned} ধরি 12sin⁡−135=θ\quad \frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}=\theta ⇒sin⁡−135=2θ⇒sin⁡2θ=35\begin{aligned}& \Rightarrow \sin^{-1} \frac{3}{5}=2 \theta \\& \Rightarrow \sin 2 \theta=\frac{3}{5}\end{aligned} ∴tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=2sin⁡θ⋅sin⁡θ2sin⁡θ⋅cos⁡θ\begin{aligned}\therefore \tan \theta & =\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \\& =\frac{2 \sin \theta \cdot \sin \theta}{2 \sin \theta \cdot \cos \theta}\end{aligned} =2sin⁡2θsin⁡2θ=1−cos⁡2θsin⁡2θ=1−1−sin⁡22θsin⁡2θ=1−1−92535=1−4535=1535=13∴θ=tan⁡−113∴A=cosec⁡⁡−15−12sin⁡−135+tan⁡−114=tan⁡−112−tan⁡−113+tan⁡−114=tan⁡−112−131+12⋅13+tan⁡−114=tan⁡−11676+tan⁡−114=tan⁡−117+tan⁡−114=tan⁡−117+141−17⋅14=tan⁡−11127\begin{aligned}& =\frac{2 \sin^{2} \theta}{\sin 2 \theta} \\& =\frac{1-\cos 2 \theta}{\sin 2 \theta} \\& =\frac{1-\sqrt{1-\sin^{2} 2 \theta}}{\sin 2 \theta} \\& =\frac{1-\sqrt{1-\frac{9}{25}}}{\frac{3}{5}} \\& =\frac{1-\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\& =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{3}{5}} \\& =\frac{1}{3} \\& \therefore \theta=\tan^{-1} \frac{1}{3} \\& \therefore A=\operatorname{\cosec}^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} \\ & +\tan^{-1} \frac{1}{4} \\& =\tan^{-1} \frac{1}{2}-\tan^{-1} \frac{1}{3}+\tan^{-1} \frac{1}{4} \\& =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}}+\tan^{-1} \frac{1}{4} \\& =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}}+\tan^{-1} \frac{1}{4} \\ & =\tan^{-1} \frac{1}{7}+\tan^{-1} \frac{1}{4} \\& =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{7}+\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{4}} \\& =\tan^{-1} \frac{11}{27} \end{aligned} =R.H.S= R.H.S (দেখানো হল)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন