Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক-১ হতে, [গণিত] [চিত্র]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ হতে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: P=sec⁡−15−12sin⁡−135+cot⁡−13P=\sec^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\cot^{-1} 3 দৃশ্যকল্প-২: cos⁡−1ma+cos⁡−1nb=x\cos^{-1} \frac{m}{a}+\cos^{-1} \frac{n}{b}=x

Sylhet · 2021

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =sec⁡2(cot⁡−114)+tan⁡2(cos⁡−113)=\sec^{2}\left(\cot^{-1} \frac{1}{4}\right)+\tan^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right) =1+tan⁡2(tan⁡−14)+sec⁡2(sec⁡−13)−1=1+\tan^{2}\left(\tan^{-1} 4\right)+\sec^{2}\left(\sec^{-1} 3\right)-1 =16+9=16+9 =25=25

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে, P=sec⁡−15−12sin⁡−135+cot⁡−13=tan⁡−12−12sin⁡−135+12⋅2tan⁡−113=tan⁡−12−12sin⁡−135+12⋅sin⁡−12⋅131+(13)2=tan⁡−12−12sin⁡−135+12sin⁡−12/31+19=tan⁡−12−12sin⁡−135+12sin⁡−123×910=tan⁡−12−12sin⁡−135+12sin⁡−135=tan⁡−12( দেখানো হল) \begin{aligned}P & =\sec^{-1} \sqrt{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\cot^{-1} 3 \\ & =\tan^{-1} 2-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \cdot 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} \\& =\tan^{-1} 2-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \cdot \sin^{-1} \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} \\& =\tan^{-1} 2-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 / 3}{1+\frac{1}{9}} \\& =\tan^{-1} 2-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2}{3} \times \frac{9}{10} \\& =\tan^{-1} 2-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} \\& =\tan^{-1} 2(\text{ দেখানো হল) }\end{aligned} question image

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, cos⁡−1ma+cos⁡−1nb=x\cos^{-1} \frac{m}{a}+\cos^{-1} \frac{n}{b}=x ⇒cos⁡−1{ma⋅nb−(1−m2a2)(1−n2b2)}=x\Rightarrow \cos^{-1}\left\{\frac{m}{a} \cdot \frac{n}{b}-\sqrt{\left(1-\frac{m^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{n^{2}}{b^{2}}\right)}\right\}=x ⇒ma⋅nb−(1−m2a2)(1−n2b2)=cos⁡x\Rightarrow \frac{m}{a} \cdot \frac{n}{b}-\sqrt{\left(1-\frac{m^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{n^{2}}{b^{2}}\right)}=\cos x ⇒(1−m2a2)(1−n2b2)=(ma⋅nb−cos⁡x)\Rightarrow \sqrt{\left(1-\frac{m^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{n^{2}}{b^{2}}\right)}=\left(\frac{m}{a} \cdot \frac{n}{b}-\cos x\right) ⇒1−m2a2−n2b2+m2a2⋅n2b2=m2a2⋅n2b2−2mnabcos⁡x+cos⁡2x\Rightarrow 1-\frac{m^{2}}{a^{2}}-\frac{n^{2}}{b^{2}}+\frac{m^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{b^{2}}=\frac{m^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{n^{2}}{b^{2}}-2 \frac{m n}{a b} \cos x+\cos^{2} \mathrm{x} ⇒m2a2−2mnabcos⁡x+n2b2=1−cos⁡2x=sin⁡2x\Rightarrow \frac{m^{2}}{a^{2}}-\frac{2 m n}{a b} \cos x+\frac{n^{2}}{b^{2}}=1-\cos^{2} x=\sin^{2} x ∴m2a2−2mnabcos⁡x+n2b2=sin⁡2x\therefore \frac{m^{2}}{a^{2}}-\frac{2 m n}{a b} \cos x+\frac{n^{2}}{b^{2}}=\sin^{2} x (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন