Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাধান কর: [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমাধান কর: .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: asin⁡x+bcos⁡x=1a \sin x+b \cos x=1; দৃশ্যকল্প-২: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x.

Chittagong · 2021

উত্তর

দেওয়া আছে, tan⁡2θ−3cosec⁡⁡2θ+1=0\tan^{2} \theta-3 \operatorname{\cosec}^{2} \theta+1=0 ⇒tan⁡2θ−3(1+cot⁡2θ)+1=0\Rightarrow \tan^{2} \theta-3\left(1+\cot^{2} \theta\right)+1=0 ⇒tan⁡2θ−3−3cot⁡2θ+1=0\Rightarrow \tan^{2} \theta-3-3 \cot^{2} \theta+1=0 ⇒tan⁡2θ−31tan⁡2θ−2=0\Rightarrow \tan^{2} \theta-3 \frac{1}{\tan^{2} \theta}-2=0 ⇒tan⁡4θ−3−2tan⁡2θ=0\Rightarrow \tan^{4} \theta-3-2 \tan^{2} \theta=0 ⇒(tan⁡2θ)2−2⋅tan⁡2θ+12−4=0\Rightarrow \left(\tan^{2} \theta\right)^{2}-2 \cdot \tan^{2} \theta+1^{2}-4=0 ⇒(tan⁡2θ−1)2=4\Rightarrow \left(\tan^{2} \theta-1\right)^{2}=4 ⇒tan⁡2θ−1=2\Rightarrow \tan^{2} \theta-1=2 ⇒tan⁡2θ=3\Rightarrow \tan^{2} \theta=3 ⇒tan⁡2=±3=±tan⁡π3=tan⁡(±π3)\Rightarrow \tan^{2}= \pm \sqrt{3}= \pm \tan \frac{\pi}{3}=\tan \left( \pm \frac{\pi}{3}\right) ⇒θ=nπ±π3,n∈Z\Rightarrow \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই, asin⁡x+bcos⁡x=1a \sin x+b \cos x=1 a=3 এবং b=1a=\sqrt{3} \text{ এবং } b=1 হলে, ∴3sin⁡x+cos⁡x=1;−2π<x<2π\therefore \sqrt{3} \sin x+\cos x=1 ;-2 \pi<x<2 \pi [(3)2+12[\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}} =2=2 দ্বারা উভয়পক্ষকে ভাগ] ⇒32sin⁡x+12cos⁡x=12\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\frac{1}{2} ⇒cos⁡xcos⁡π3+sin⁡xsin⁡π3=12\Rightarrow \cos x \cos \frac{\pi}{3}+\sin x \sin \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} ⇒cos⁡(x−π3)=cos⁡π3\Rightarrow \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{3} ⇒x−π3=2nπ±π3,n∈Z\Rightarrow x-\frac{\pi}{3}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} (+ve) চিহ্ন নিয়ে, x==2nπ+π3+π3\mathrm{x}==2 n \pi+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} =2nπ+2π3,n∈Z=2 n \pi+\frac{2 \pi}{3}, n \in \mathbb{Z} (-ve) চিহ্ন নিয়ে, x=2nπ−π3+π3\mathrm{x}=2 n \pi-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3} n=0\mathrm{n}=0 হলে, x=2π3,x=0\mathrm{x}=\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{x}=0 n=1\mathrm{n}=1 হলে, x=2π+2π3,x=2π\mathrm{x}=2 \pi+\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{x}=2 \pi n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, x=−2π+2π3,x=−2π\mathrm{x}=-2 \pi+\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{x}=-2 \pi ∴\therefore নির্ণেয় xx এর মান সমূহ: =−4π3=\frac{-4 \pi}{3} 0,2π3,−4π30, \frac{2 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(x)+f(3x)+f(5x)+f(7x)=0\therefore f(x)+f(3 x)+f(5 x)+f(7 x)=0 ⇒cos⁡x+cos⁡3x+cos⁡5x+cos⁡7x=0\Rightarrow \cos x+\cos 3 x+\cos 5 x+\cos 7 x=0 ⇒(cos⁡7x+cos⁡x)+(cos⁡5x+cos⁡3x)=0\Rightarrow(\cos 7 x+\cos x)+(\cos 5 x+\cos 3 x)=0 ⇒2cos⁡4x⋅cos⁡3x+2cos⁡4x⋅cos⁡x=0\Rightarrow 2 \cos 4 x \cdot \cos 3 x+2 \cos 4 x \cdot \cos x=0 ⇒2cos⁡4x(cos⁡3x+cos⁡x)=0\Rightarrow 2 \cos 4 x(\cos 3 x+\cos x)=0 ⇒cos⁡4x⋅2cos⁡2x⋅cos⁡x=0\Rightarrow \cos 4 x \cdot 2 \cos 2 x \cdot \cos x=0 ⇒cos⁡x⋅cos⁡2x⋅cos⁡4x=0\Rightarrow \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 4 x=0 ∴cos⁡x=0\therefore \cos x=0 ⇒x=(2n+1)π2,n∈Z\Rightarrow x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡2x=0\cos 2 x=0 ⇒2x=(2n+1)π2\Rightarrow 2 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ∴x=(2n+1)π4,n∈Z\therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡4x=0\cos 4 x=0 ⇒4x=(2n+1)π2\Rightarrow 4 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ∴x=(2n+1)π8,n∈Z\therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{8}, n \in \mathbb{Z} n=0n=0 হলে, x=π2,x=π4,x=π8x=\frac{\pi}{2}, x=\frac{\pi}{4}, x=\frac{\pi}{8} x=1x=1 হলে, x=3π2,x=3π4,x=3π8x=\frac{3 \pi}{2}, x=\frac{3 \pi}{4}, x=\frac{3 \pi}{8} x=2x=2 হলে, x=5π2,x=5π4,x=5π8x=\frac{5 \pi}{2}, x=\frac{5 \pi}{4}, x=\frac{5 \pi}{8} x=3x=3 হলে, x=7π2,x=7π4,x=7π8x=\frac{7 \pi}{2}, x=\frac{7 \pi}{4}, x=\frac{7 \pi}{8} ∴\therefore প্রদত্ত সীমার মধ্যে x\mathrm{x} এর মান সমূহ: π2,π4,π8,3π4,3π8,5π8,7π8\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণChittagong
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
সমাধান কর: . | Prosthuti