Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-১ এ প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক-১ হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-১ এ প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: A=cot⁡−17,B=cot⁡−13,g(A)=cos⁡2A,h(B)=sin⁡4BA=\cot^{-1} 7, B=\cot^{-1} 3, g(A)=\cos 2 A, h(B)=\sin 4 B. উদ্দীপক-২: f(α)=cos⁡α,g(α)=sin⁡2α,h(α)=12f(\alpha)=\cos \alpha, g(\alpha)=\sin 2 \alpha, h(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}}

Barisal · 2021

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =cos⁡−1tan⁡cot⁡−12=\cos^{-1} \tan \cot^{-1} \sqrt{2} =cos⁡−1tan⁡tan⁡−112=\cos^{-1} \tan \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} =cos⁡−112=\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} =π4=\frac{\pi}{4}

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে পাই, A=cot⁡−17,B=cot⁡−13,A=\cot^{-1} 7, B=\cot^{-1} 3, g(A)=g(A)= cos⁡2A,h(B)=sin⁡4B\cos 2 A, h(B)=\sin 4 B ∴g(A)=cos⁡2A=1−2sin⁡2a\therefore g(A)=\cos 2 A=1-2 \sin^{2} a =1−2⋅{sin⁡(cot⁡−17)}2=1-2 \cdot\left\{\sin \left(\cot^{-1} 7\right)\right\}^{2} =1−2⋅(sin⁡⋅sin⁡−1150)2=1-2 \cdot\left(\sin \cdot \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{50}}\right)^{2} =1−2⋅150=1-2 \cdot \frac{1}{50} =1−125=1-\frac{1}{25} =2425=\frac{24}{25} এবং h(B)=sin⁡4Bh(B)=\sin 4 B =2sin⁡2B⋅cos⁡2B=2 \sin 2 B \cdot \cos 2 B =2⋅2sin⁡B⋅cos⁡B(1−2sin⁡2B)=2 \cdot 2 \sin B \cdot \cos B\left(1-2 \sin^{2} B\right) =4(sin⁡⋅cot⁡−13)(cost⁡⋅cot⁡−13)=4\left(\sin \cdot \cot^{-1} 3\right)\left(\operatorname{cost} \cdot \cot^{-1} 3\right) {1−2(sin⁡⋅cot⁡−13)2}\left\{1-2\left(\sin \cdot \cot^{-1} 3\right)^{2}\right\} =4(sin⁡⋅sin⁡−1110)(cos⁡cos⁡−1310)=4\left(\sin \cdot \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{10}}\right)\left(\cos \cos^{-1} \frac{3}{\sqrt{10}}\right) {1−2(sin⁡sin⁡−1110)2}\left\{1-2\left(\sin \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{10}}\right)^{2}\right\} =4⋅110⋅310⋅(1−210)=4 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot\left(1-\frac{2}{10}\right) =65⋅45=\frac{6}{5} \cdot \frac{4}{5} =2425=\frac{24}{25} ∴g(A)=h(B)\therefore g(A)=h(B) ⇒g−1{g(A)}=g−1{h(B)}\Rightarrow g^{-1}\{g(A)\}=g^{-1}\{h(B)\} ∴A=g−1{h(B)}\therefore A=g^{-1}\{h(B)\} (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক -২হতে পাই, f(α)=cos⁡α,g(α)=sin⁡2αf(\alpha)=\cos \alpha, \quad g(\alpha)=\sin 2 \alpha এবং h(α)=12h(\alpha)=\frac{1}{\sqrt{2}} f(α)+g(α2)=h(α);−2π≤α≤2πf(\alpha)+g\left(\frac{\alpha}{2}\right)=h(\alpha) ;-2 \pi \leq \alpha \leq 2 \pi ⇒cos⁡α+sin⁡α=12\Rightarrow \cos \alpha+\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{2}} ⇒12cos⁡α+12sin⁡α=12\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha+\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha=\frac{1}{2} [2\sqrt{2} দ্বারা ভাগ করে ]] ⇒cos⁡α⋅cos⁡π4+sin⁡α⋅sin⁡π4=12\Rightarrow \cos \alpha \cdot \cos \frac{\pi}{4}+\sin \alpha \cdot \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2} ⇒cos⁡(α−π4)=cos⁡π3\Rightarrow \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\cos \frac{\pi}{3} ⇒α−π4=2nπ±π3,n∈Z\Rightarrow \alpha-\frac{\pi}{4}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} (+ve), ⇒α−π4=2nπ+π3\Rightarrow \alpha-\frac{\pi}{4}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{3} ⇒α=2nπ+π3+π4\Rightarrow \alpha=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} =2nπ+7π12,n∈Z=2 \mathrm{n} \pi+\frac{7 \pi}{12}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} (−ve)(-v e) ⇒α−π4=2nπ−π3\Rightarrow \alpha-\frac{\pi}{4}=2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{3} ⇒α=2nπ+π3−π4\Rightarrow \alpha=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} ⇒α=2nπ−π12,n∈Z\Rightarrow \alpha=2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{12}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} n=0\mathrm{n}=0 शলে, α=7π12,−π12\alpha=\frac{7 \pi}{12}, \frac{-\pi}{12} n=1\mathrm{n}=1 হলে, α=31π12,23π12\alpha=\frac{31 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, α=−17π12,−25π12\alpha=\frac{-17 \pi}{12}, \frac{-25 \pi}{12} ∴α=−17π12,−π12,7π12,23π12\therefore \alpha=\frac{-17 \pi}{12}, \frac{-\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12} (যখন −2π≤α≤2π-2 \pi \leq \alpha \leq 2 \pi ) নির্ণেয় সমাধান: α=−17π12,−π12,7π12,23π12\alpha=\frac{-17 \pi}{12}, \frac{-\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}, \frac{23 \pi}{12}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন