Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-১ এ [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক-১ হতে পাই, [গণিত] এবং [গণিত] প্রশ্নমতে, [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-১ এ হলে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: sec⁡α=px,sec⁡β=qy\sec \alpha=\frac{p}{x}, \sec \beta=\frac{q}{y}; উদ্দীপক-২: f(x)=sec⁡xf(x)=\sec x

Barisal · 2021

উত্তর

sec⁡2(cot⁡−11)+sin⁡2(cos⁡−112)\sec^{2}\left(\cot^{-1} 1\right)+\sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{2}\right) =1+cot⁡2(cot⁡−11)+1−cos⁡2(cos⁡−112)=1+\cot^{2}\left(\cot^{-1} 1\right)+1-\cos^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{2}\right) =2+1−14=2+1-\frac{1}{4} =114=\frac{11}{4}

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে পাই, sec⁡α=px\sec \alpha=\frac{p}{x} ⇒α=sec⁡−1px\Rightarrow \alpha=\sec^{-1} \frac{p}{x} ⇒α=cos⁡−1xp\Rightarrow \alpha=\cos^{-1} \frac{x}{p} এবং sec⁡β=qy\sec \beta=\frac{q}{y} ⇒β=sec⁡−1qy\Rightarrow \beta=\sec^{-1} \frac{q}{y} ⇒β=cos⁡−1yq\Rightarrow \beta=\cos^{-1} \frac{y}{q} প্রশ্নমতে, α+β=γ\alpha+\beta=\gamma ⇒cos⁡−1xp+cos⁡−1yq=γ\Rightarrow \cos^{-1} \frac{x}{p}+\cos^{-1} \frac{y}{q}=\gamma ⇒cos⁡−1{xp⋅yq−(1−x2p2)(1−y2q2)}=γ\Rightarrow \cos^{-1}\left\{\frac{x}{p} \cdot \frac{y}{q}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{p^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{q^{2}}\right)}\right\}=\gamma ⇒xp⋅yq−(1−x2p2)(1−y2q2)=cos⁡γ\Rightarrow \frac{x}{p} \cdot \frac{y}{q}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{p^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{q^{2}}\right)}=\cos \gamma ⇒(1−x2p2)(1−y2q2)=(xp⋅yq−cos⁡γ)\Rightarrow \sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{p^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{q^{2}}\right)}=\left(\frac{x}{p} \cdot \frac{y}{q}-\cos \gamma\right) ⇒1−x2p2−y2q2+x2p2⋅y2q2=x2p2⋅y2q2−2xypqcos⁡γ+cos⁡2γ\Rightarrow 1-\frac{x^{2}}{p^{2}}-\frac{y^{2}}{q^{2}}+\frac{x^{2}}{p^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{q^{2}}=\frac{x^{2}}{p^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{q^{2}}-2 \frac{x y}{p q} \cos \gamma+\cos^{2} \gamma ⇒x2p2−2xypqcos⁡γ+y2q2=1−cos⁡2γ=sin⁡2γ\Rightarrow \frac{x^{2}}{p^{2}}-\frac{2 x y}{p q} \cos \gamma+\frac{y^{2}}{q^{2}}=1-\cos^{2} \gamma=\sin^{2} \gamma ∴x2p2−2xypqcos⁡γ+y2q2=sin⁡2γ\therefore \frac{x^{2}}{p^{2}}-\frac{2 x y}{p q} \cos \gamma+\frac{y^{2}}{q^{2}}=\sin^{2} \gamma (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে পাই, f(x)=sec⁡xf(x)=\sec x ∴f(x)f(3x)+2=0\therefore f(x) f(3 x)+2=0 ⇒sec⁡x⋅sec⁡3x+2=0\Rightarrow \sec x \cdot \sec 3 x+2=0 ⇒1cos⁡x⋅1cos⁡3x=−2\Rightarrow \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{1}{\cos 3 x}=-2 ⇒cos⁡x⋅cos⁡3x=−12\Rightarrow \cos x \cdot \cos 3 x=-\frac{1}{2} ⇒2cos⁡3x⋅cos⁡x+1=0\Rightarrow 2 \cos 3 x \cdot \cos x+1=0 ⇒cos⁡(3x+x)+cos⁡(3x−x)+1=0\Rightarrow \cos (3 x+x)+\cos (3 x-x)+1=0 ⇒cos⁡4x+cos⁡2x+1=0\Rightarrow \cos 4 x+\cos 2 x+1=0 ⇒2cos⁡22x+cos⁡2x=0\Rightarrow 2 \cos 22 x+\cos 2 x=0 ⇒cos⁡2x(2cos⁡2x+1)=0\Rightarrow \cos 2 x(2 \cos 2 x+1)=0 ∴cos⁡2x=0\therefore \cos 2 x=0 ⇒2x=(2n+1)π2\Rightarrow 2 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ⇒x=(2n+1)π4,n∈Z\Rightarrow x=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡2x=−12=cos⁡2π3\cos 2 x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} ⇒2x=2nπ±2π3\Rightarrow 2 x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} ∴x=nπ±π3,n∈Z\therefore x=n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z} ∴\therefore নির্ণেয় সমাধানঃ x=(2n+1)π4,nπ±π3,n∈Zx=(2 n+1) \frac{\pi}{4}, n \pi \pm \frac{\pi}{3}, n \in \mathbb{Z}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন