Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x) = tanx

Sylhet · 2019

উত্তর

question image বামপক্ষ =tan⁡−153=\tan^{-1} \frac{5}{3} =tan⁡−153+tan⁡−135−tan⁡−135=\tan^{-1} \frac{5}{3}+\tan^{-1} \frac{3}{5}-\tan^{-1} \frac{3}{5} =π2−tan⁡−135[∴tan⁡−1x+tan⁡−1y=π2=\frac{\pi}{2}-\tan^{-1} \frac{3}{5}\left[\therefore \tan^{-1} \mathrm{x}+\tan^{-1} \mathrm{y}=\frac{\pi}{2}\right. यখन xy=1]\left.\mathrm{xy}=1\right] =π2−cos⁡−1534=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1} \frac{5}{\sqrt{34}} = ডানপক্ষ ∴tan⁡−153=π2−cos⁡−1534(\therefore \tan^{-1} \frac{5}{3}=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1} \frac{5}{\sqrt{34}}( দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} ∴f(2x)=tan⁡2x\therefore \mathrm{f}(2 \mathrm{x})=\tan 2 \mathrm{x} বামপক্ষ =tan⁡−1{2+3)f(x)}+tan⁡−1{(2−3)f(x)}\left.=\tan^{-1}\{2+\sqrt{3}) \mathrm{f}(\mathrm{x})\right\}+\tan^{-1}\{(2-\sqrt{3}) \mathrm{f}(\mathrm{x})\} =tan⁡−1{(2+3)tan⁡x}+tan⁡−1{(2−3)tan⁡x}=\tan^{-1}\{(2+\sqrt{3}) \tan x\}+\tan^{-1}\{(2-\sqrt{3}) \tan x\} =tan⁡−1(2+3)+2−3)tan⁡x1−(2+3)(2−3)tan⁡2x=\tan^{-1} \frac{(2+\sqrt{3})+2-\sqrt{3}) \tan x}{1-(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) \tan^{2} x} =\tan^{-1} \frac{4 \tan x}{1-(4-3} \tan^{2} x} =tan⁡−1{2×2tan⁡x1−tan⁡2x}=\tan^{-1}\left\{2 \times \frac{2 \tan x}{1-\tan^{2} x}\right\} =tan⁡−1{2tan⁡2x}=\tan^{-1}\{2 \tan 2 x\} =tan⁡−1{2f(2x)}=\tan^{-1}\{2 \mathrm{f}(2 \mathrm{x})\} == ডানপক্ষ ∴tan⁡−1{(2+3)f(x)}+tan⁡−1{2−3)f(x)}=tan⁡−1{2f(2x)}\left.\therefore \tan^{-1}\{(2+\sqrt{3}) \mathrm{f}(\mathrm{x})\}+\tan^{-1}\{2-\sqrt{3}) \mathrm{f}(\mathrm{x})\right\}=\tan^{-1}\{2 \mathrm{f}(2 \mathrm{x})\} (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} ∴f(π2−2x)=tan⁡(π2−2x)=cot⁡2x\therefore \mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\tan \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\cot 2 x এখানে, f(π2−2x)=cos⁡x+sin⁡x\mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=\cos x+\sin x বা, cot⁡2x=cos⁡x+sin⁡x\cot 2 \mathrm{x}=\cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x} বা, cos⁡2xsin⁡2x=cos⁡x+sin⁡x\frac{\cos 2 x}{\sin 2 x}=\cos x+\sin x বা, cos⁡2x=sin⁡2x(cos⁡x+sin⁡x)\cos 2 \mathrm{x}=\sin 2 \mathrm{x}(\cos \mathrm{x}+\sin \mathrm{x}) বা, (cos⁡2x−sin⁡2x)−2sin⁡xcos⁡x(cos⁡x+sin⁡x)=0\left(\cos^{2} x-\sin^{2} x\right)-2 \sin x \cos x(\cos x+\sin x)=0 বা, (cos⁡x+sin⁡x)(cos⁡x−sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x)=0(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x-2 \sin x \cos x)=0 হয়, cos⁡x+sin⁡x=0\cos x+\sin x=0 বা, 1+tan⁡x+01+\tan x+0 [ cos⁡x\cos x দ্বারা ভাগ করে] বা, tan⁡x=−1\tan x=-1 বা, tan⁡x=tan⁡(−π4)\tan x=\tan \left(-\frac{\pi}{4}\right) ∴x=nπ−π4\therefore \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4} যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} অথবা, cos⁡x−sin⁡x−2sin⁡xcos⁡x=0\cos x-\sin x-2 \sin x \cos x=0 বা, cos⁡x−sin⁡x=2sin⁡xcos⁡x\cos x-\sin x=2 \sin x \cos x বা, cos⁡x−sin⁡x=sin⁡2x\cos x-\sin x=\sin 2 x বা, (cos⁡x−sin⁡x)2=sin⁡22x(\cos x-\sin x)^{2}=\sin^{2} 2 x [বर্গ করে] বা, cos⁡2x+sin⁡2x−2sin⁡xcos⁡x=sin⁡22x\cos^{2} \mathrm{x}+\sin^{2} \mathrm{x}-2 \sin \mathrm{x} \cos \mathrm{x}=\sin^{2} 2 \mathrm{x} বা, 1−sin⁡2x=sin⁡22x1-\sin 2 x=\sin^{2} 2 x বা, sin⁡22x+sin⁡2x−1=0\sin^{2} 2 x+\sin 2 x-1=0 বা, sin⁡2x=−1±1+42=12(−1±5)\sin 2 x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2}=\frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{5}) অর্থাৎ sin⁡2x=12(−1±5)\sin 2 \mathrm{x}=\frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{5}) কারণ সাইন অনুপাতের মান -1 অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর হতে পারে না। ধরি, sin⁡α=12(−1±5)\sin \alpha=\frac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{5}) বা, α=sin⁡−1{12(−1+5)}\alpha=\sin^{-1}\left\{\frac{1}{2}(-1+\sqrt{5})\right\} তাহলে, sin⁡2x=sin⁡α\sin 2 \mathrm{x}=\sin \alpha ∴2x=nπ+(−1)nα\therefore 2 \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \alpha; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, x=12nπ+(−1)n⋅12α\mathrm{x}=\frac{1}{2} \mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{1}{2} \alpha. নির্ণেয় সমাধান : x=nπ−π4,12nπ+(−1)n⋅12α\mathrm{x}=\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}, \frac{1}{2} \mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \cdot \frac{1}{2} \alpha.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন