Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দেখাও যে, [গণিত]

Sylhet · 2017

উত্তর

বামপক্ষ =cos⁡(2tan⁡−1yx)=cos⁡cos⁡−11−(yx)21+(yx)2[<2tan⁡−1x=cos⁡−11−x21+x2]=x2−y2x2x2+y2x2=x2−y2x2+y2\begin{aligned} & =\cos \left(2 \tan^{-1} \frac{y}{x}\right) \\ & =\cos \cos^{-1} \frac{1-\left(\frac{y}{x}\right)^2}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\left[<2 \tan^{-1} x=\cos^{-1} \frac{1-x^2}{1+x^2}\right] \\ & =\frac{\frac{x^2-y^2}{x^2}}{\frac{x^2+y^2}{x^2}}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\end{aligned} = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপকের চিত্র হতে, cos⁡A=Xr\cos \mathrm{A}=\frac{\mathrm{X}}{\mathrm{r}} ∴A=cos⁡−1xr\therefore A=\cos^{-1} \frac{x}{r} এবং cos⁡P=yr\cos \mathrm{P}=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{r}} ∴P=cos⁡−1yr\therefore \mathrm{P}=\cos^{-1} \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{r}} প্রশ্নমতে, cos⁡−1xr+cos⁡−1yr=ϕ\cos^{-1} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{r}}+\cos^{-1} \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{r}}=\phi বা, cos⁡−1{xyr2−(1−x2r2)(1−y2r2)}=ϕ\cos^{-1}\left\{\frac{x y}{r^2}-\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{r^2}\right)}\right\}=\phi বা, xyr2−(1−x2r2)(1−y2r2)=cos⁡ϕ\frac{x y}{r^2}-\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{r^2}\right)}=\cos \phi বা, (xyr2−cos⁡ϕ)2=((1−x2r2)(1−y2r2))2\left(\frac{\mathrm{xy}}{\mathrm{r}^2}-\cos \phi\right)^2=\left(\sqrt{\left(1-\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{r}^2}\right)\left(1-\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{r}^2}\right)}\right)^2 বা, x2y2r4−2⋅xyr2cos⁡ϕ+cos⁡2ϕ=(1−x2r2)(1−y2r2)\frac{x^2 y^2}{r^4}-2 \cdot \frac{x y}{r^2} \cos \phi+\cos^2 \phi=\left(1-\frac{x^2}{r^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{r^2}\right) বা, x2y2r4−2⋅xyr2cos⁡ϕ+cos⁡2ϕ=1−y2r2−x2r2+x2y2r4\frac{x^2 y^2}{r^4}-2 \cdot \frac{x y}{r^2} \cos \phi+\cos^2 \phi=1-\frac{y^2}{r^2}-\frac{x^2}{r^2}+\frac{x^2 y^2}{r^4} বা,x2r2+y2r2−2xyr2cos⁡ϕ=1−cos⁡2ϕ\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{r}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{r}^2}-\frac{2 \mathrm{xy}}{\mathrm{r}^2} \cos \phi=1-\cos^2 \phi বা,x2r2+y2r2−2xyr2cos⁡ϕ=sin⁡2ϕ\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{r}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{r}^2}-\frac{2 \mathrm{xy}}{\mathrm{r}^2} \cos \phi=\sin^2 \phi ∴x2+y2−2xycos⁡ϕ=r2sin⁡2ϕ\therefore x^2+y^2-2 x y \cos \phi=r^2 \sin^2 \phi ( প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=rx=sec⁡θ∴f(2θ)=sec⁡2θ\begin{aligned} & \mathrm{f}(\theta)=\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{x}}=\sec \theta \\ & \therefore \mathrm{f}(2 \theta)=\sec 2 \theta\end{aligned} প্রশ্নমতে, f(2θ)−f(θ)=2f(2 \theta)-f(\theta)=2 বা, sec⁡2θ−sec⁡θ=2\sec 2 \theta-\sec \theta=2 বা, 1cos⁡2θ−1cos⁡θ=2\frac{1}{\cos 2 \theta}-\frac{1}{\cos \theta}=2 বা,cos⁡θ−cos⁡2θcos⁡2θ⋅cos⁡θ=2\frac{\cos \theta-\cos 2 \theta}{\cos 2 \theta \cdot \cos \theta}=2 বা, cos⁡θ−cos⁡2θ=2cos⁡2θ⋅cos⁡θ\cos \theta-\cos 2 \theta=2 \cos 2 \theta \cdot \cos \theta বা, cos⁡θ−cos⁡2θ=cos⁡θ+cos⁡(2θ+θ)\cos \theta-\cos 2 \theta=\cos \theta+\cos (2 \theta+\theta) বা, cos⁡3θ+cos⁡2θ=0\cos 3 \theta+\cos 2 \theta=0 বা, 2cos⁡3θ+2θ2cos⁡3θ−2θ2=02 \cos \frac{3 \theta+2 \theta}{2} \cos \frac{3 \theta-2 \theta}{2}=0 বা, cos⁡5θ2cos⁡θ2=0\cos \frac{5 \theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}=0 এখন, cos⁡5θ2=0\cos \frac{5 \theta}{2}=0 \quad আবার, cos⁡θ2=0\cos \frac{\theta}{2}=0 বা, 5θ2=(2n+1)π2\frac{5 \theta}{2}=(2 n+1) \frac{\pi}{2} বা, θ2=(2n+1)π2\frac{\theta}{2}=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ∴θ=(2n+1)π5∴θ=(2n+1)π\therefore \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{5} \quad \therefore \theta=(2 n+1) \pi n = 0 হলে θ=π5,π\theta=\frac{\pi}{5}, \pi n = 1 হলে θ=3π5,3π\theta=\frac{3 \pi}{5}, 3 \pi n = -1 হলে θ=−π5,−π\theta=-\frac{\pi}{5},-\pi n = -2 হলে θ=−3π5,−3π\theta=-\frac{3 \pi}{5},-3 \pi ∴\therefore নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে নির্ণেয় সমাধান, θ=π5,π,−π5,−3π5,−π,3π5\theta=\frac{\pi}{5}, \pi,-\frac{\pi}{5},-\frac{3 \pi}{5},-\pi, \frac{3 \pi}{5} (Ans.)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন
দেখাও যে, [গণিত] | Prosthuti