Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সীমার মধ্যে [গণিত] সমীকরণের সমাধান কর।

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] |[উভয়পক্ষকে [গণিত] বা 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] যেখানে [গণিত] হলে, [গণিত] হলে [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সীমার মধ্যে সমীকরণের সমাধান কর।

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

সরকারি হাজী মুহাম্মদ মহসিন কলেজ, চট্টগ্রাম · 2025

উত্তর

sin⁡−1x+2cos⁡−1x=π\sin^{-1} x+2 \cos^{-1} x=\pi বা, 2cos⁡−1x=π−sin⁡−1x2 \cos^{-1} x=\pi-\sin^{-1} x বা, sin⁡(2cos⁡−1x)=sin⁡(π−sin⁡−1x)\sin \left(2 \cos^{-1} x\right)=\sin \left(\pi-\sin^{-1} x\right) বা, 2sin⁡cos⁡−1x×cos⁡cos⁡−1x=sin⁡(sin⁡−1x)2 \sin \cos^{-1} x \times \cos \cos^{-1} x=\sin \left(\sin^{-1} x\right) বা, 2sin⁡2(cos⁡−1x)×x=x2 \sqrt{\sin^2\left(\cos^{-1} x\right)} \times x=x বা, 21−cos⁡2(cos⁡−1x)×x=x2 \sqrt{1-\cos^2\left(\cos^{-1} x\right)} \times x=x বা, 2x1−x2=x2 x \sqrt{1-x^2}=x বা, 4x2(1−x2)=x24 x^2\left(1-x^2\right)=x^2 [বর্গ করে] বা, 4x2(1−x2)−x2=04 x^2\left(1-x^2\right)-x^2=0 বা, 4x2−4x4−x2=04 x^2-4 x^4-x^2=0 বা, 3x2−4x4=03 x^2-4 x^4=0 বা, x2(3−4x2)=0x^2\left(3-4 x^2\right)=0 হয়, x2=0x^2=0 ∴x=0\therefore x=0 অথবা, 3−4x2=03-4 x^2=0 বা, 4x2=34 x^2=3 বা, x2=34x^2=\frac{3}{4} বা, x=±34=±32x= \pm \sqrt{\frac{3}{4}}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} কিন্তু x=±32x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2} প্রদত্ত সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে না। ∴x=0\therefore \quad x=0 নির্ণেয় সমাধান : x=0x=0. .

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(3x)=cos⁡3x\therefore f(3 x) =\cos 3 x f(5x)=cos⁡5xf(5 x) =\cos 5 x f(7x)=cos⁡7xf(7 x) =\cos 7 x এখানে, f(x)+f(3x)+f(5x)+f(7x)=0f(\mathrm{x})+f(3 \mathrm{x})+f(5 \mathrm{x})+f(7 \mathrm{x})=0 বা, cos⁡x+cos⁡3x+cos⁡5x+cos⁡7x=0\cos x+\cos 3 x+\cos 5 x+\cos 7 x=0 বা, cos⁡7x+cos⁡x+cos⁡5x+cos⁡3x=0\cos 7 x+\cos x+\cos 5 x+\cos 3 x=0 বা, 2cos⁡7x+x2cos⁡7x−x2+2cos⁡5x+3x2cos⁡5x−3x2=02 \cos \frac{7 x+x}{2} \cos \frac{7 x-x}{2}+2 \cos \frac{5 x+3 x}{2} \cos \frac{5 x-3 x}{2}=0 বা, cos⁡4x⋅cos⁡3x+cos⁡4x⋅cos⁡x=0\cos 4 x \cdot \cos 3 x+\cos 4 x \cdot \cos x=0 বা, cos⁡4x(cos⁡3x+cos⁡x)=0\cos 4 x(\cos 3 x+\cos x)=0 বা, cos⁡4x(2cos⁡3x+x2⋅cos⁡3x−x2)=0\cos 4 x\left(2 \cos \frac{3 x+x}{2} \cdot \cos \frac{3 x-x}{2}\right)=0 বা, cos⁡4x⋅cos⁡2x⋅cos⁡x=0\cos 4 x \cdot \cos 2 x \cdot \cos x=0 হয়, cos⁡4x=0\cos 4 \mathrm{x}=0 বা, 4x=(2n+1)π24 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}; যেখানে, n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=(2n+1)π8\therefore \quad x=(2 n+1) \frac{\pi}{8} অথবা, cos⁡2x=0\cos 2 \mathrm{x}=0 বা, 2x=(2n+1)π22 \mathrm{x}=(2 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{2} যেখানে, n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} ∴x=(2n+1)π4\therefore x=(2 n+1) \frac{\pi}{4} অথবা, cos⁡x=0\cos x=0 বা, x=(2n+1)π2x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে, n∈Zn \in \mathbf{Z} निर्ज़য় সমাধান : x=(2n+1)π8,(2n+1)π4,(2n+1)π2;x=(2 n+1) \frac{\pi}{8},(2 n+1) \frac{\pi}{4},(2 n+1) \frac{\pi}{2} ; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x এখন, f(x)+3f(π2−x)=3f(\mathrm{x})+\sqrt{3} f\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\sqrt{3} বা, cos⁡x+3sin⁡x=3\cos x+\sqrt{3} \sin x=\sqrt{3} বা, 12cos⁡x+32sin⁡x=32\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} |[উভয়পক্ষকে 12+(3)2\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2} বা 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡xcos⁡π3+sin⁡xsin⁡π3=32\cos x \cos \frac{\pi}{3}+\sin x \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} বা, cos⁡(x−π3)=cos⁡π6\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{6} বা, x−π3=2nπ±π6;x-\frac{\pi}{3}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{6} ; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=2nπ±π6+π3=2nπ+π6+π3,2nπ−π6+π3\therefore \quad \mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}, 2 \mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} =2nπ+π2,2nπ+π6=(4n+1)π2,(12n+1)π6=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{2}, 2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{6}=(4 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{2},(12 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{6} n=0\mathrm{n}=0 হলে, x=π2⋅π6\mathrm{x}=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{6} n=1\mathrm{n}=1 হলে x=5π2,13π6\mathrm{x}=\frac{5 \pi}{2}, \frac{13 \pi}{6} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, x=−3π2,−11π6\mathrm{x}=-\frac{3 \pi}{2},-\frac{11 \pi}{6} ∴−π≤x≤2π\therefore -\pi \leq \mathrm{x} \leq 2 \pi ব্যবধিতে x=π6,π2\mathrm{x}=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2} নির্ণেয় সমাধান : x=π6,π2x=\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন