Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উত্তর: প্রদত্ত কনিক, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ইহাই কনিকটির প্রমাণ আকার যা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। সুতরাং কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

কণিকটি প্রমাণ আকারে প্রকাশ করে সনাক্ত কর

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: কনিকের উপকেন্দ্র S(5, 2) এবং শীর্ষবিন্দু A(3, 4). দৃশ্যকল্প-২: 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 একটি সমীকরণ।

Barisal · 2017

উত্তর

প্রদত্ত কনিক, 4x2−9y2−1=04 \mathrm{x}^2-9 \mathrm{y}^2-1=0 বা, 4x2−9y2=14 x^2-9 y^2=1 বা, x214−y219=1\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{\frac{1}{9}}=1 বা, x2(12)2−y2(13)2=1\frac{x^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{3}\right)^2}=1 ইহাই কনিকটির প্রমাণ আকার যা একটি অধিবৃত্ত নির্দেশ করে। সুতরাং কনিকটি একটি অধিবৃত্ত।

উত্তর

এখানে, কনিকের উৎকেন্দ্রিকতা, e = 1 ∴ কনিকটি একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে। পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র S(5, 2), শীর্ষবিন্দু A(3, 4), নিয়ামকরেখা MZM′,ZMZM^{\prime}, Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (α,β),\alpha, \beta), পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু P(x, y), যেহেতু SZ এর মধ্যবিন্দু A সেহেতু 3=α+523=\frac{\alpha+5}{2} বা, α+5=6\alpha+5=6 বা, α=6−5\alpha=6-5 বা, α=1\alpha=1 এবং 4=β+224=\frac{\beta+2}{2} বা, β+2=8\beta+2=8 বা, β=8−2\beta=8-2 বা, β=6\beta=6 ∴ Z বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1, 6) অক্ষরেখা AS এর ঢাল =4−23−5=2−2=−1=\frac{4-2}{3-5}=\frac{2}{-2}=-1 ∴ নিয়ামক রেখা MZM′MZM^{\prime} এর ঢাল =−1−1=1=-\frac{1}{-1}=1 নিয়ামক র্রেথা MZM′MZM^{\prime} এর্র সমীকর্রণ, y−6=1⋅(x−1)\mathrm{y}-6=1 \cdot(\mathrm{x}-1) বা, y−6=x−1y-6=x-1 বা, x−1−y+6=0x-1-y+6=0 বा, x−y+5=0x-y+5=0 পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = PM বা, (x−5)2+(y−2)2=∣x−y+512+(−1)2∣\sqrt{(x-5)^2+(y-2)^2}=\left|\frac{x-y+5}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| বা, (x−5)2+(y−2)2=(x−y+5)21+1(x-5)^2+(y-2)^2=\frac{(x-y+5)^2}{1+1} বা, x2−10x+25+y2+4y+4=x2+y2+25−2xy−10y+10x2x^2-10 x+25+y^2+4 y+4=\frac{x^2+y^2+25-2 x y-10 y+10 x}{2} বা, x2−10x+y2−4y+29=x2+y2+25−2xy−10y+10x2x^2-10 x+y^2-4 y+29=\frac{x^2+y^2+25-2 x y-10 y+10 x}{2} বা, 2x2−20x+2y2−8y+58=x2+y2+25−2xy−10y+10x2 x^2-20 x+2 y^2-8 y+58=x^2+y^2+25-2 x y-10 y+10 x বা, 2x2−20x+2y2−8y+58−x2−y2−25+2xy+10y−10x=02 x^2-20 x+2 y^2-8 y+58-x^2-y^2-25+2 x y+10 y-10 x=0 বা, x2+2xy+y2−30x+2y+33=0x^2+2 x y+y^2-30 x+2 y+33=0 বা, (x+y)2−30x+2y+33=0(x+y)^2-30 x+2 y+33=0 ∴ কণিকের সমীকরণ (x+y)2-30x+2y+33-0

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ, 6x2+4y2−36x−4y+43=06 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0 বা, 6(x2−6x+9)+4(y2−y+14)+43−55=06\left(x^2-6 x+9\right)+4\left(y^2-y+\frac{1}{4}\right)+43-55=0 বা, 6(x−3)2+4(y−12)2−12=06(x-3)^2+4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-12=0 বা, 6(x−3)2+4(y−12)2=126(x-3)^2+4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=12 বা, (x−3)22+(y−12)23=1\frac{(x-3)^2}{2}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{3}=1 বা, (x−3)2(2)2+(y−12)2(3)2=1\frac{(x-3)^2}{(\sqrt{2})^2}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{(\sqrt{3})^2}=1 বা, X2a2+Y2b2=1\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1; যেখানে X=x−3,Y=y−12,a=2X=x-3, Y=y-\frac{1}{2}, a=\sqrt{2}, b=3b=\sqrt{3} অর্থাৎ a<ba<b ∴\therefore সমীকরণটি একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে। উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, e=1−a2b2=1−(2)2(3)2=1−23=3−23=13=13\begin{aligned} e & =\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}} \\ & =\sqrt{1-\frac{(\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2}} \\ & =\sqrt{1-\frac{2}{3}} \\ & =\sqrt{\frac{3-2}{3}} \\ & =\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned} এবং Y=±Y= \pm be বা, y−12=±3⋅13y-\frac{1}{2}= \pm \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} বা, y−12=±1y-\frac{1}{2}= \pm 1, বা, y=±1+12y= \pm 1+\frac{1}{2} বা, y=−12,32\mathrm{y}=-\frac{1}{2}, \frac{3}{2} ∴\therefore উপকেন্দ্র (3,−12)\left(3, \frac{-1}{2}\right) ও (3,32)\left(3, \frac{3}{2}\right) নিয়ামকের সমীকরণ, Y=±beY= \pm \frac{b}{e} বা, y−12=±313y-\frac{1}{2}= \pm \frac{\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} বা, y−12=±3\mathrm{y}-\frac{1}{2}= \pm 3 বা, 2y−12=±3\frac{2 y-1}{2}= \pm 3 বা, 2y−1=±62 y-1= \pm 6 বা, 2y−1±6=02 y-1 \pm 6=0 ∴2y−7=0\therefore \quad 2 \mathrm{y}-7=0 এবং 2y+5=02 \mathrm{y}+5=0 ∴\therefore উপকেন্দ্র (3,−12)B(3,32)\left(3,-\frac{1}{2}\right) B\left(3, \frac{3}{2}\right) এবং নিয়ামকের সমীকরণ 2y−7=02 y-7=0
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন