Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক হতে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (দেখানো হলো)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক হতে দেখাও যে,

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡−1xf(\mathbf{x})=\cos^{-1} \mathbf{x}

Mymensingh · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, sin⁡−1x+2cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x+2 \cos^{-1} x=\frac{\pi}{2} বা, sin⁡−1x+cos⁡−1x+cos⁡−1x=π2\sin^{-1} x+\cos^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2} বা, π2+cos⁡−1x=π2[∵sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2]\frac{\pi}{2}+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\left[\because \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\right] বা, cos⁡−1x=π2−π2\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2} বা, cos⁡−1x=0\cos^{-1} \mathrm{x}=0 বা, x=cos⁡0x=\cos 0 ∴x=1\therefore \quad x=1 নির্ণেয় মান : x=1\mathrm{x}=1.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡−1xf(\mathrm{x})=\cos^{-1} \mathrm{x} এখন, f(yzxr)+f(zxyr)−sin⁡−1xyzr=3π2f\left(\frac{\mathrm{yz}}{\mathrm{xr}}\right)+f\left(\frac{\mathrm{zx}}{\mathrm{yr}}\right)-\sin^{-1} \frac{\mathrm{xy}}{\mathrm{zr}}=3 \frac{\pi}{2} বা, cos⁡−1yzxr+cos⁡−1zxyr−sin⁡−1xyzr=3π2\cos^{-1} \frac{\mathrm{yz}}{\mathrm{xr}}+\cos^{-1} \frac{\mathrm{zx}}{\mathrm{yr}}-\sin^{-1} \frac{\mathrm{xy}}{\mathrm{zr}}=3 \frac{\pi}{2} বা, cos⁡−1yzxr+cos⁡−1zxyr=3π2+sin⁡−1⋅xyzr\cos^{-1} \frac{\mathrm{yz}}{\mathrm{xr}}+\cos^{-1} \frac{\mathrm{zx}}{\mathrm{yr}}=3 \frac{\pi}{2}+\sin^{-1} \cdot \frac{\mathrm{xy}}{\mathrm{zr}} বা, cos⁡−1{yzxr⋅zxyr−1−(yzxr)2⋅1−(zxyr)2}=3⋅π2+sin⁡−1xyzz\cos^{-1}\left\{\frac{\mathrm{yz}}{\mathrm{xr}} \cdot \frac{\mathrm{zx}}{\mathrm{yr}}-\sqrt{1-\left(\frac{\mathrm{yz}}{\mathrm{xr}}\right)^2} \cdot \sqrt{1-\left(\frac{\mathrm{zx}}{\mathrm{yr}}\right)^2}\right\}=3 \cdot \frac{\pi}{2}+\sin^{-1} \frac{\mathrm{xy}}{\mathrm{zz}} [∵cos⁡−1x+cos⁡−1y=cos⁡−1(xy−1−x2⋅1−y2)]\left[\because \cos^{-1} x+\cos^{-1} y=\cos^{-1}\left(x y-\sqrt{1-x^2} \cdot \sqrt{1-y^2}\right)\right] বা, xyz2xyr2−1−y2z2x2r21−z2x2y2r2=cos⁡(3⋅π2+sin⁡−1xyz)\frac{x y z^2}{x y r^2}-\sqrt{1-\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}} \sqrt{1-\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}}=\cos \left(3 \cdot \frac{\pi}{2}+\sin^{-1} \frac{x y}{z}\right) বা, z2r2−(1−y2z2x2r2)(1−z2x2y2r2)=sin⁡sin⁡−1xyzx\frac{z^2}{r^2}-\sqrt{\left(1-\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}\right)\left(1-\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}\right)}=\sin \sin^{-1} \frac{x y}{z x} বা, z2r2−1−y2z2x2r2−z2x2y2r2+x2y2z4x2y2r4=xyzr\frac{z^2}{r^2}-\sqrt{1-\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}-\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}+\frac{x^2 y^2 z^4}{x^2 y^2 r^4}}=\frac{x y}{z r} বা, z2r2−xyzr=1−y2z2x2r2−z2x2y2r2+z4r4\frac{z^2}{r^2}-\frac{x y}{z r}=\sqrt{1-\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}-\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}+\frac{z^4}{r^4}} বা, (z2r2−xyzr)2=(1−y2z2x2r2−z2x2y2r2+z2r3)2\left(\frac{z^2}{r^2}-\frac{x y}{z r}\right)^2=\left(\sqrt{1-\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}-\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}+\frac{z^2}{r^3}}\right)^2 [বর্গ করে] বা, (z2r2)2−2⋅z2r2⋅xyzr+(xyzr)2=1−y2z2x2r2−z2x2y2r2+z4r3\left(\frac{z^2}{r^2}\right)^2-2 \cdot \frac{z^2}{r^2} \cdot \frac{x y}{z r}+\left(\frac{x y}{z r}\right)^2=1-\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}-\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}+\frac{z^4}{r^3} বা, z4r3−2⋅xyzr3+x2y2z2r2+y2z2x2r2+z2x2y2r2−z4r3=1\frac{z^4}{r^3}-2 \cdot \frac{x y z}{r^3}+\frac{x^2 y^2}{z^2 r^2}+\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}+\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}-\frac{z^4}{r^3}=1 বা, x2y2z2r2+y2z2x2r2+z2x2y2r2−2xyzr3=1\frac{x^2 y^2}{z^2 r^2}+\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}+\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}-\frac{2 x y z}{r^3}=1 ∴x2y2z2r2+y2z2x2r2+z2x2y2r2−2xyzr=1\therefore \quad \frac{x^2 y^2}{z^2 r^2}+\frac{y^2 z^2}{x^2 r^2}+\frac{z^2 x^2}{y^2 r^2}-\frac{2 x y z}{r}=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡−1xf(x)=\cos^{-1} x বামপক্ষ =f(15)=cos⁡−115=tan⁡−12=f\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\cos^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}=\tan^{-1} 2 ডানপক্ষ =tan⁡−12+12sin⁡−135−cot⁡−13=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\cot^{-1} 3 =tan⁡−12+12sin⁡−135−tan⁡−113=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\tan^{-1} \frac{1}{3} =tan⁡−12+12sin⁡−135−12×2tan⁡−113=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} =tan⁡−12+12sin⁡−135−12sin⁡−12×131+(13)2=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2} [∵2tan⁡−1x=sin⁡−12x1+x2]\left[\because 2 \tan^{-1} \mathrm{x}=\sin^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^2}\right] =tan⁡−12+12sin⁡−135−12sin⁡−1231+19=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}} =tan⁡−12+12sin⁡−135−12sin⁡−123109=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}} =tan⁡−12+12sin⁡−135−12sin⁡−1(23×910)=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}\right) =tan⁡−12+12sin⁡−135−12sin⁡−135=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} =tan⁡−12=\tan^{-1} 2 ∴f(15)=tan⁡−12+12sin⁡−135−cot⁡−13.\therefore f\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)=\tan^{-1} 2+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5}-\cot^{-1} 3 . (দেখানো হলো)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন