Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপকের সমীকরণটির দুইটি মূল [গণিত] ও [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] ... (i) (i) নং সমীকরণের মূল দুটি [গণিত] ও [গণিত] হলে [গণিত] ও [গণিত] দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। [গণিত] (i) নং হতে পাই, [গণিত] ... (ii) [গণিত] ... (iii) (ii) এবং (iii) নং হতে পাঁই, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, a. [গণিত] বা; [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপকের সমীকরণটির দুইটি মূল ও হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

উদ্দীপক : acos⁡θ+bsin⁡θ=ca \cos \theta+b \sin \theta=c

বরিশাল সরকারি মহিলা কলেজ · 2025

উত্তর

question image প্রদত্ত রাশি =sin⁡cot⁡−1tan⁡cos⁡−1x=\sin \cot^{-1} \tan \cos^{-1} x =sin⁡cot⁡−1tan⁡tan⁡−11−x2x=\sin \cot^{-1} \tan \tan^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} =sin⁡cot⁡−11−x2x=\sin \cot^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} =sin⁡sin⁡−1x1=x==\sin \sin^{-1} \frac{x}{1}=x= ডানপক্ষ নির্ণেয় মান : xx .

উত্তর

দেওয়া আছে, acos⁡θ+bsin⁡θ=c\mathbf{a} \cos \theta+\mathbf{b} \sin \theta=\mathbf{c} এখন, a=1,b=1a=1, b=1 এবং c=cos⁡2θ+sin⁡2θc=\cos 2 \theta+\sin 2 \theta হলে,  1. cos⁡θ+1.bsin⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ\text{ 1. } \cos \theta+1 . \mathrm{b} \sin \theta=\cos 2 \theta+\sin 2 \theta বা, cos⁡θ+sin⁡θ=cos⁡2θ+sin⁡2θ\cos \theta+\sin \theta=\cos 2 \theta+\sin 2 \theta বা, cos⁡θ−cos⁡2θ=sin⁡2θ−sin⁡θ\cos \theta-\cos 2 \theta=\sin 2 \theta-\sin \theta বা, 2sin⁡2x+θ2sin⁡2θ−θ2=2cos⁡2θ+θ2sin⁡2θ−θ22 \sin \frac{2 \mathrm{x}+\theta}{2} \sin \frac{2 \theta-\theta}{2}=2 \cos \frac{2 \theta+\theta}{2} \sin \frac{2 \theta-\theta}{2} বা, sin⁡3θ2sin⁡θ2=cos⁡3θ2sin⁡θ2\sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}=\cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} [2 দ্বারা ভাগ করে] বা, sin⁡3θ2sin⁡θ2−cos⁡3θ2sin⁡θ2=0\sin \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}-\cos \frac{3 \theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}=0 বা, sin⁡θ2(sin⁡3θ2−cos⁡3θ2)=0\sin \frac{\theta}{2}\left(\sin \frac{3 \theta}{2}-\cos \frac{3 \theta}{2}\right)=0 হয় sin⁡θ2=0\sin \frac{\theta}{2}=0 বা, θ2=nπ\frac{\theta}{2}=n \pi যেখানে, nn পূর্ণসংখ্যা ∴θ=2nπ\therefore \theta=2 n \pi অথবা, sin⁡3θ2−cos⁡3θ2=0\sin \frac{3 \theta}{2}-\cos \frac{3 \theta}{2}=0 বা, sin⁡3θ2=cos⁡3θ2\sin \frac{3 \theta}{2}=\cos \frac{3 \theta}{2} বা, sin⁡3θ2cos⁡3θ2=1\frac{\sin \frac{3 \theta}{2}}{\cos \frac{3 \theta}{2}}=1 বা, tan⁡3θ2=tan⁡θ4\tan \frac{3 \theta}{2}=\tan \frac{\theta}{4} বা, 3θ2=nθ+π4\frac{3 \theta}{2}=n \theta+\frac{\pi}{4}, যেখানে, nn পুর্ণসংখ্যা বা, θ=2nπ3+2π12\theta=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{2 \pi}{12} =2nπ3+π6=(4n+1)π6=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=(4 n+1) \frac{\pi}{6} নির্ণেয় সমাধান : θ=2nπ,(4n+1)π6\theta=2 n \pi,(4 n+1) \frac{\pi}{6}; যেখানে nn পুর্ণসংখ্যা।

উত্তর

দেওয়া আছে, acos⁡θ+bsin⁡θ=c\mathrm{a} \cos \theta+\mathrm{b} \sin \theta=\mathrm{c}
…...(i)(i)\ldots... (i) (i)
নং সমীকরণের মূল দুটি α\alpha ও β\beta হলে α\alpha ও β\beta দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে। ∴\therefore \quad (i) নং হতে পাই, acos⁡α+bsin⁡α=ca \cos \alpha+b \sin \alpha=c …...(ii)\ldots... (ii) acos⁡β+bsin⁡β=ca \cos \beta+b \sin \beta=c
…...(iii)(ii)\ldots... (iii) (ii)
এবং (iii) নং হতে পাঁই, acos⁡α+bsin⁡α=acos⁡β+bsin⁡βa \cos \alpha+b \sin \alpha=a \cos \beta+b \sin \beta বা, acos⁡α−acos⁡β=bsin⁡β−bsin⁡αa \cos \alpha-a \cos \beta=b \sin \beta-b \sin \alpha বা, a(cos⁡α−cos⁡β)=b(sin⁡β−sin⁡α)a(\cos \alpha-\cos \beta)=b(\sin \beta-\sin \alpha) বা, a. 2sin⁡(α+β2)sin⁡(β−α2)=b⋅2cos⁡(α+β2)sin⁡(β−α2)2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right)=b \cdot 2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\beta-\alpha}{2}\right) বা; asin⁡(α+β2)=bcos⁡α+β2a \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=b \cos \frac{\alpha+\beta}{2} বা, sin⁡(α+β2)cos⁡(α+β2)=ba\frac{\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{b}{a} বা, tan⁡α+β2=ba\tan \frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{b}{a} বামপক্ষ =sin⁡(α+β)=sin⁡2⋅α+β2=\sin (\alpha+\beta)=\sin 2 \cdot \frac{\alpha+\beta}{2} =2tan⁡α+β21+tan⁡2(α+β2)=2ba1+(ba)2=2baa2+b2a2=\frac{2 \tan \frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=\frac{2 \frac{b}{a}}{1+\left(\frac{b}{a}\right)^2}=\frac{\frac{2 b}{a}}{\frac{a^2+b^2}{a^2}} =2 ba×a2a2+b2=2aba2+b2==\frac{2 \mathrm{~b}}{\mathrm{a}} \times \frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}=\frac{2 \mathrm{ab}}{\mathrm{a}^2+\mathrm{b}^2}= ডানপক্ষ ∴sin⁡(α+β)=2aba2+b2\therefore \quad \sin (\alpha+\beta)=\frac{2 a b}{a^2+b^2} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন