Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

যদি [গণিত] হয়, তবে [গণিত] সীমার মধ্যে [গণিত] এর মানগুলো বের কর।

উত্তর: 'খ' হতে প্রাপ্ত, [গণিত] এখন, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে [গণিত] বা, 2 দ্বারা ভাগ করে পাই] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] ; যেখানে [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] যেখানে [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে, [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত] .

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

যদি হয়, তবে সীমার মধ্যে এর মানগুলো বের কর।

উদ্দীপক

উদ্দীপক : question image

Chittagong · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =sin⁡−1117+cos⁡−1526=\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{17}}+\cos^{-1} \frac{5}{\sqrt{26}} =tan⁡−114+tan⁡−115=\tan^{-1} \frac{1}{4}+\tan^{-1} \frac{1}{5} =tan⁡−114+151−14⋅15=tan⁡−15+42020−120=tan⁡−1(920×2019)=tan⁡−1(919)\begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{5+4}{20}}{\frac{20-1}{20}} \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{9}{20} \times \frac{20}{19}\right) \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{9}{19}\right)\end{aligned} =25.35∘=25.35^{\circ} (প্রায়) নির্ণেয় মান : 25.35∘25.35^{\circ} (প্রায়)।

উত্তর

ABC সমকোণী ত্রিভুজে, AC=AB2−BC2=12−cos⁡2θ=1−cos⁡2θ=sin⁡2θ=sin⁡θ\begin{aligned} A C & =\sqrt{A B^2-B C^2} \\ & =\sqrt{1^2-\cos^2 \theta} \\ & =\sqrt{1-\cos^2 \theta} \\ & =\sqrt{\sin^2 \theta}=\sin \theta\end{aligned} এখন, sin⁡(π.BC)=cos⁡(π.AC)\sin (\pi . \mathrm{BC})=\cos (\pi . \mathrm{AC}) বা, sin⁡(πcos⁡θ)=cos⁡(πsin⁡θ)\sin (\pi \cos \theta)=\cos (\pi \sin \theta) বা, cos⁡(πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\cos (\pi \sin \theta)=\sin (\pi \cos \theta) বা, sin⁡(π2±πsin⁡θ)=sin⁡(πcos⁡θ)\sin \left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta\right)=\sin (\pi \cos \theta) বা, π2±πsin⁡θ=πcos⁡θ\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin \theta=\pi \cos \theta বা, 12±sin⁡θ=cos⁡θ\frac{1}{2} \pm \sin \theta=\cos \theta বা, cos⁡θ±sin⁡θ=12\cos \theta \pm \sin \theta=\frac{1}{2} বা, 12cos⁡θ±12sin⁡θ=122[12+12=2\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} \quad\left[\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\right. দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡π4cos⁡θ±sin⁡π4sin⁡θ=122\cos \frac{\pi}{4} \cos \theta \pm \sin \frac{\pi}{4} \sin \theta=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡(θ±π4)=122\cos \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡2(θ±π4)=18\cos^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{8} [বর্গ করে] বা, 1−sin⁡2(θ±π4)=181-\sin^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{8} বা, sin⁡2(θ±π4)=1−18=8−18\sin^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=1-\frac{1}{8}=\frac{8-1}{8} বা, sin⁡2(θ±π4)=78\sin^2\left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{8} বা, sin⁡(θ±π4)=78=722\sin \left(\theta \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}} ना, θ±π4=sin⁡−1(722)\theta \pm \frac{\pi}{4}=\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{2}}\right) বা, θ±π4=cosec⁡⁡−1227\theta \pm \frac{\pi}{4}=\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}} ∴θ=±π4+cosec⁡⁡−1227\therefore \quad \theta= \pm \frac{\pi}{4}+\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{7}} (দেখানো হলো)

উত্তর

'খ' হতে প্রাপ্ত, AC=sin⁡θ\mathrm{AC}=\sin \theta এখন, 3BC−AC=1\sqrt{3} \mathrm{BC}-\mathrm{AC}=1 বা, 3cos⁡θ−sin⁡θ=1\sqrt{3} \cos \theta-\sin \theta=1 বা, 32cos⁡θ−12sin⁡θ=12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-\frac{1}{2} \sin \theta=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে (3)2+1\sqrt{(\sqrt{3})^2+1} বা, 2 দ্বারা ভাগ করে পাই] বা, cos⁡π6cos⁡θ−sin⁡π6sin⁡θ=12\cos \frac{\pi}{6} \cos \theta-\sin \frac{\pi}{6} \sin \theta=\frac{1}{2} বা, cos⁡(π6+θ)=cos⁡π3\cos \left(\frac{\pi}{6}+\theta\right)=\cos \frac{\pi}{3} [∵cos⁡Acos⁡B−sin⁡Asin⁡B=cos⁡(A+B)][\because \cos A \cos B-\sin A \sin B=\cos (A+B)] বা, π6+θ=2nπ±π3\frac{\pi}{6}+\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, θ=2nπ±π3−π6\theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} বা, θ=2nπ+π6,2nπ−π2\theta=2 n \pi+\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{2} ∴θ=(12n+1)π6,(4n−1)π2;\therefore \quad \theta=(12 n+1) \frac{\pi}{6},(4 n-1) \frac{\pi}{2} ; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} n=0\mathrm{n}=0 হলে, θ=π6,−π2\theta=\frac{\pi}{6},-\frac{\pi}{2} n=1\mathrm{n}=1 হলে, θ=13π6,3π2\theta=\frac{13 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, θ=−11π6,−5π2\theta=\frac{-11 \pi}{6}, \frac{-5 \pi}{2} n=2\mathrm{n}=2 হলে, θ=25π6,7π2\theta=\frac{25 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2} n=−2\mathrm{n}=-2 হলে, θ=−23π6,−9π2\theta=\frac{-23 \pi}{6}, \frac{-9 \pi}{2} −2π<θ<2π-2 \pi<\theta<2 \pi ব্যবধিতে, θ=−11π6,−π2,π6,3π2\theta=-\frac{11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2} নির্ণেয় সমাধান : θ=−11π6,−π2,π6,3π2\theta=-\frac{11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন