Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক (ii) হতে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক (ii) হতে পাই, [গণিত] দ্বারা ভাগ] [গণিত] (দেখানো হল)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক (ii) হতে দেখাও যে,

উদ্দীপক

(i) question image ii) sin⁡⁡−1(πsin⁡x)−cos⁡−1(πcos⁡x)=0\operatorname{\sin}^{-1}(\pi \sin x)-\cos^{-1}(\pi \cos x)=0

চট্টগ্রাম কলেজ · 2024

উত্তর

L.H.S=cos⁡−12/3−cos⁡−16+123L.H.S =\cos^{-1} \sqrt{2 / 3}-\cos^{-1} \frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}} =cos⁡1{2/3⋅6+123+{1−(2/3)2}{1−(6+123)2}=\cos 1\left\{\sqrt{2 / 3} \cdot \frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}+\sqrt{\left\{1-(\sqrt{2 / 3})^{2}\right\}\left\{1-\left(\frac{\sqrt{6}+1}{2 \sqrt{3}}\right)^{2}\right.}\right\} =cos⁡{6+132+(1−23)(1−7+2612}=\cos \left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\sqrt{\left(1-\frac{2}{3}\right)\left(1-\frac{7+2 \sqrt{6}}{12}\right.}\right\} =cos⁡−1{6+132+13×56−2612}=\cos^{-1}\left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\sqrt{\frac{1}{3} \times \frac{56-2 \sqrt{6}}{12}}\right\} =cos⁡{6+132+(23)236}=\cos \left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\sqrt{\frac{(\sqrt[3]{2})^{2}}{36}}\right\} =cos⁡−1{6+132+3−26}=\cos^{-1}\left\{\frac{\sqrt{6}+1}{3 \sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{6}\right\} =cos⁡−1{26+2+6=262}=\cos^{-1}\left\{\frac{2 \sqrt{6}+2+\sqrt{6}=2}{6 \sqrt{2}}\right\} = cos⁡−1{3662}\cos^{-1}\left\{\frac{3 \sqrt{6}}{6 \sqrt{2}}\right\} =cos⁡−1(3/2)=\cos^{-1}(\sqrt{3} / 2) =π6=\frac{\pi}{6} ∴L.H⋅S= R.H.S \therefore L . H \cdot S =\text{ R.H.S }

উত্তর

উদ্দীপক হতে পাই, question image ∴sin⁡θ=1213x=cos⁡θ=513\therefore \sin \theta=\frac{12}{13} \quad x=\cos \theta=\frac{5}{13} ∴tan⁡θ/2=sin⁡θ/2cos⁡θ/2=2sin⁡θ/2cos⁡θ/22cos⁡2θ/2\therefore \tan \theta / 2=\frac{\sin \theta / 2}{\cos \theta / 2}= \frac{2 \sin \theta / 2 \cos \theta / 2}{2 \cos^2 \theta / 2} ⇒tan⁡θ/2=sin⁡θ1+cos⁡θ\Rightarrow \tan \theta / 2 =\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta} 2sin⁡θ/2cos⁡θ/22 \sin \theta / 2 \cos \theta / 2 2cos⁡2θ/22 \cos^{2} \theta / 2 ⇒tan⁡θ/2=12/131+5/13\Rightarrow \tan \theta / 2=\frac{12 / 13}{1+5 / 13} ⇒tan⁡θ/2=123×1318\Rightarrow \tan \theta / 2=\frac{12}{3} \times \frac{13}{18} ⇒tan⁡θ/2=23\Rightarrow \tan \theta / 2=\frac{2}{3} ⇒θ/2=tan⁡−123\Rightarrow \theta / 2=\tan^{-1} \frac{2}{3} ∴θ=2tan⁡−123\therefore \theta=2 \tan^{-1} \frac{2}{3} আবার, ধরি, question image cosec⁡⁡−153=φ\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{5}{3}=\varphi cosec⁡⁡φ=53\operatorname{\cosec} \varphi=\frac{5}{3} 544π3\frac{54}{4} \pi^{3} ∴tan⁡φ=34\therefore \tan \varphi=\frac{3}{4} ⇒φ=tan⁡−134\Rightarrow \varphi=\tan^{-1} \frac{3}{4} ∴cosec⁡⁡−153=tan⁡−134\therefore \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{5}{3}=\tan^{-1} \frac{3}{4} ∴ L.H.S =2cosec⁡⁡−1B3+θ−2cot⁡−12828\therefore \text{ L.H.S }=2 \operatorname{\cosec}^{-1} \frac{B}{3}+\theta-2 \cot^{-1} \frac{28}{28} =2tan⁡−134+2tan⁡−123−2cot⁡−12928=2 \tan^{-1} \frac{3}{4}+2 \tan^{-1} \frac{2}{3}-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2(tan⁡−134+tan⁡−123)−2cot⁡−12928=2\left(\tan^{-1} \frac{3}{4}+\tan^{-1} \frac{2}{3}\right)-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2tan⁡−1(39+231−34⋅2/3)−2cot⁡−12928=2 \tan^{-1}\left(\frac{\frac{3}{9}+\frac{2}{3}}{1-\frac{3}{4} \cdot 2 / 3}\right)-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2tan⁡−1(9+8121−1/2)−2cot⁡−12928=2 \tan^{-1}\left(\frac{\frac{9+8}{12}}{1-1 / 2}\right)-2 \cot^{-1} \frac{29}{28} =2tan⁡−1176−2tan⁡−12829=2 \tan^{-1} \frac{17}{6}-2 \tan^{-1} \frac{28}{29} =2(tan⁡−1176−tan⁡−12829)=2\left(\tan^{-1} \frac{17}{6}-\tan^{-1} \frac{28}{29}\right) =2tan⁡−1(176−28291+176⋅2829)=2 \tan^{-1}\left(\frac{\frac{17}{6}-\frac{28}{29}}{1+\frac{17}{6} \cdot \frac{28}{29}}\right) =2tan⁡−1(493−168174174+476).=2 \tan^{-1}\left(\frac{493-168}{\frac{174}{174+476}}\right) . =2tan⁡−1(325656)=2 \tan^{-1}\left(\frac{325}{656}\right) =2tan⁡−1(12)=2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) ∴ L.H.S = R.H.S.\therefore \text{ L.H.S } =\text{ R.H.S.} (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক (ii) হতে পাই, sin⁡−1(πsin⁡x)−cos⁡−1(πcos⁡x)=0\sin^{-1}(\pi \sin x)-\cos^{-1}(\pi \cos x)=0 ⇒sin⁡−1(πsin⁡x)=cos⁡−1(πcos⁡x)\Rightarrow \sin^{-1}(\pi \sin x)=\cos^{-1}(\pi \cos x) ⇒cos⁡(πsin⁡x)=sin⁡(πcos⁡x)\Rightarrow \cos (\pi \sin x)=\sin (\pi \cos x) ⇒sin⁡(π/2±πsin⁡x)=sin⁡(πcos⁡x)\Rightarrow \sin (\pi / 2 \pm \pi \sin x)=\sin (\pi \cos x) ⇒π/2±πsin⁡x=πcos⁡x\Rightarrow \pi / 2 \pm \pi \sin x=\pi \cos x ⇒12±sin⁡x=cos⁡x\Rightarrow \frac{1}{2} \pm \sin x=\cos x ⇒cos⁡x±sin⁡x=12\Rightarrow \cos x \pm \sin x=\frac{1}{2} ⇒12cos⁡x±12sin⁡x=2122[2\Rightarrow \frac{1}{2} \cos x \pm \frac{1}{2} \sin x=\sqrt{2} \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} দ্বারা ভাগ] ⇒cos⁡xcos⁡π/4±sin⁡xsin⁡π/4=122\Rightarrow \cos x \cos \pi / 4 \pm \sin x \sin \pi / 4=\frac{1}{2 \sqrt{2}} ⇒cos⁡(x±x/4)=122\Rightarrow \cos (x \pm x / 4)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} ⇒sec⁡(x±x4)=22\Rightarrow \sec \left(x \pm \frac{x}{4}\right)=2 \sqrt{2} ⇒x±x4=sec⁡−1(22)\Rightarrow x \pm \frac{x}{4}=\sec^{-1}(2 \sqrt{2}) ⇒x=±x/4+sec⁡−1(22)\Rightarrow x= \pm x / 4+\sec^{-1}(2 \sqrt{2}) (দেখানো হল)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন