Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: 2sin⁡2θ−2=cos⁡2θ2 \sin^{2} \theta-2=\cos 2 \theta. দৃশ্যকল্প-২ : f(y)=tan⁡−1y\mathrm{f}(\mathrm{y})=\tan^{-1} \mathrm{y}.

Dinajpur · 2022

উত্তর

cos⁡−1(−12)=cos⁡−1(−cos⁡π3)=cos⁡−1{cos⁡(π−π3)}=cos⁡−1cos⁡2π3=2π3\begin{aligned}\cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) & =\cos^{-1}\left(-\cos \frac{\pi}{3}\right) \\& =\cos^{-1}\left\{\cos \left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)\right\} \\& =\cos^{-1} \cos \frac{2 \pi}{3}=\frac{2 \pi}{3}\end{aligned} ∴cos⁡−1(−12)\therefore \cos^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) এর মুখ্যমান হনো : 2π3\frac{2 \pi}{3}.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-১ এ প্রদত্ত সমীকরণ, 2sin⁡2θ−2=cos⁡2θ2 \sin^{2} \theta-2=\cos 2 \theta বা, 1−cos⁡2θ−2=cos⁡2θ1-\cos 2 \theta-2=\cos 2 \theta বা, 1−cos⁡2θ−2−cos⁡2θ=01-\cos 2 \theta-2-\cos 2 \theta=0 বা, −1−2cos⁡2θ=0-1-2 \cos 2 \theta=0 বা, 2cos⁡2θ=−12 \cos 2 \theta=-1 বা, cos⁡2θ=−12\cos 2 \theta=-\frac{1}{2} বা, cos⁡2θ=cos⁡2π3\cos 2 \theta=\cos \frac{2 \pi}{3} বা, 2θ=2nπ±2π32 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} ∴θ=nπ±π3\therefore \theta=\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3} এখন, n=0\mathrm{n}=0 হলে, θ=π3,−π3\theta=\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3} n=1\mathrm{n}=1 \quad হলে, θ=4π3,2π3\theta=\frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, θ=−2π3,−4π3\theta=\frac{-2 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3} n=2\mathrm{n}=2 হলে, θ=7π3,5π3\theta=\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} n=−2\mathrm{n}=-2 হলে, θ=−5π3,−7π3\theta=\frac{-5 \pi}{3}, \frac{-7 \pi}{3} ∴−2π≤θ≤2π\therefore-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi ব্যবধিতে θ\theta এর গ্রহণযোগ্য মানসমূহ : −5π3,−4π3,−2π3,−π3,π3,2π3,4π3,5π3\frac{-5 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3}, \frac{-2 \pi}{3}, \frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} নির্ণেয় সমাধান : −5π3,−4π3,−2π3,−π3,π3,2π3,4π3,5π3\frac{-5 \pi}{3}, \frac{-4 \pi}{3}, \frac{-2 \pi}{3}, \frac{-\pi}{3}, \frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}.

উত্তর

দৃশ্যকল্প-২ হতে পাই, f(y)=tan⁡−1y∴f(x)=tan⁡−1x,f(x3)=tan⁡−1x3\begin{aligned} \mathrm{f}(\mathrm{y}) & =\tan^{-1} \mathrm{y} \\ \therefore \quad \mathrm{f}(\mathrm{x}) & =\tan^{-1} \mathrm{x}, \mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)=\tan^{-1} \mathrm{x}^{3}\end{aligned} বামপক্ষ =tan⁡{2f(x)}=\tan \{2 \mathrm{f}(\mathrm{x})\} =tan⁡{2tan⁡−1x}=tan⁡(tan⁡−12x1−x2)=2x1−x2=\tan \left\{2 \tan^{-1} \mathrm{x}\right\}=\tan \left(\tan^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}}\right)=\frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}} ডানপক্ষ =2tan⁡{f(x)+f(x3)}=2 \tan \left\{\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)\right\} =2tan⁡(tan⁡−1x+tan⁡−1x3)=2 \tan \left(\tan^{-1} \mathrm{x}+\tan^{-1} \mathrm{x}^{3}\right) =2tan⁡{tan⁡−1(x+x31−x⋅x3)}=2 \tan \left\{\tan^{-1}\left(\frac{x+x^{3}}{1-x \cdot x^{3}}\right)\right\} =2(x+x31−x4)=2x(1+x2)(1+x2)(1−x2)=2x1−x2=2\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{x}^{3}}{1-\mathrm{x}^{4}}\right)=\frac{2 \mathrm{x}\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)}{\left(1+\mathrm{x}^{2}\right)\left(1-\mathrm{x}^{2}\right)}=\frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}} ∴\therefore \quad বামপক্ষ == ডানপক্ষ ∴tan⁡{2f(x)}=2tan⁡{f(x)+f(x3)}\therefore \tan \{2 \mathrm{f}(\mathrm{x})\}=2 \tan \left\{\mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}^{3}\right)\right\} (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন