Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: উদ্দীপক-২ হতে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক-২ হতে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x উদ্দীপক-2: cot⁡−1(1x)+12sec⁡−1(1+y21−y2)+12cosec⁡⁡−1(1+z22z)=π\cot^{-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{2} \sec^{-1}\left(\frac{1+y^{2}}{1-y^{2}}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{\cosec}^{-1}\left(\frac{1+z^{2}}{2 z}\right)=\pi.

Comilla · 2022

উত্তর

question image question image প্রদত্ত রাশি =cot⁡cos⁡−1sin⁡tan⁡−134=\cot \cos^{-1} \sin \tan^{-1} \frac{3}{4} cot⁡cos⁡−1sin⁡sin⁡−135\cot \cos^{-1} \sin \sin^{-1} \frac{3}{5} [চিত্র-১ হতে] =cot⁡cos⁡−135=\cot \cos^{-1} \frac{3}{5} =cot⁡−1cot⁡−134=\cot^{-1} \cot^{-1} \frac{3}{4} [চিত্র-২ হতে] =34=\frac{3}{4} নির্ণেয় মান : 34\frac{3}{4}.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\therefore \mathrm{f}\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x} প্রদত্ত সমীকরণ, f(x)+13f(π2−x)=13f(x)+\frac{1}{\sqrt{3}} f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}} বা, cos⁡x+13cos⁡(π2−x)=13\cos x+\frac{1}{\sqrt{3}} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\sqrt{3}} বা, cos⁡x+13sin⁡x=13\cos x+\frac{1}{\sqrt{3}} \sin x=\frac{1}{\sqrt{3}} বা, 3cos⁡x+sin⁡x=1\sqrt{3} \cos x+\sin x=1 বা, 32cos⁡x+12sin⁡x=12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x+\frac{1}{2} \sin x=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে (3)2+12\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}} বা 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡x⋅cos⁡□6+sin⁡x⋅sin⁡π6=12\cos x \cdot \cos \frac{\square}{6}+\sin x \cdot \sin \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} বা, cos⁡(x−π6)=cos⁡π3\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{3} বা, x−π6=2nπ±π3,n∈Z\mathrm{x}-\frac{\pi}{6}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} ∴x=2nπ±π3+π6=2nπ+π2,2nπ−π6\therefore x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=2 n \pi+\frac{\pi}{2}, 2 n \pi-\frac{\pi}{6} এখন, n=0\mathrm{n}=0 হলে, x=π2,−π6\mathrm{x}=\frac{\pi}{2}, \frac{-\pi}{6} n=1\mathrm{n}=1 হলে, x=5π2,11π6\mathrm{x}=\frac{5 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{6} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, x=−3π2,−13π6\mathrm{x}=\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-13 \pi}{6} n=2\mathrm{n}=2 হলে, x=9π2,23π6\mathrm{x}=\frac{9 \pi}{2}, \frac{23 \pi}{6} n=−2n=-2 হলে, x=−7π2,−25π6x=-\frac{7 \pi}{2},-\frac{25 \pi}{6} −2π<x<2π-2 \pi<x<2 \pi ব্যবধিতে নির্ণেয় সমাধান : x=−3π2,−π6,π2,11π6x=-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{11 \pi}{6}.

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে, cot⁡−1(1x)+12sec⁡−1(1+y21−y2)+12cosec⁡⁡−1(1+z22z)=π\cot^{-1}\left(\frac{1}{\mathrm{x}}\right)+\frac{1}{2} \sec^{-1}\left(\frac{1+\mathrm{y}^{2}}{1-\mathrm{y}^{2}}\right)+\frac{1}{2} \operatorname{\cosec}^{-1}\left(\frac{1+\mathrm{z}^{2}}{2 \mathrm{z}}\right)=\pi বা, tan⁡−1x+12⋅cos⁡−11−y21+y2+12sin⁡−12z1+z2=π\tan^{-1} \mathrm{x}+\frac{1}{2} \cdot \cos^{-1} \frac{1-\mathrm{y}^{2}}{1+\mathrm{y}^{2}}+\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 \mathrm{z}}{1+\mathrm{z}^{2}}=\pi বা, tan⁡−1x+12×2tan⁡−1y+12×2tan⁡−1z=π\tan^{-1} x+\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} y+\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} z=\pi [∵2tan⁡−1x=tan⁡−12x1−x2=sin⁡−12x1+x2=cos⁡−11−x21+x2]\left[\because 2 \tan^{-1} \mathrm{x}=\tan^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1-\mathrm{x}^{2}}=\sin^{-1} \frac{2 \mathrm{x}}{1+\mathrm{x}^{2}}=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}}\right] বা, tan⁡−1x+tan⁡−1y+tan⁡−1z=π\tan^{-1} x+\tan^{-1} y+\tan^{-1} z=\pi  বা, tan⁡−1x+y1−xy+tan⁡−1z=π বা, tan⁡−1x+y1−xy+z1−x+y1−xy⋅z=π বা, x+y+z−xyz1−xy1−xy−xz−yz1−xy=tan⁡π বা, x+y+z−xyz1−xy−yz−zx=0 বা, x+y+z−xyz=0∴x+y+z=xyz (প্রমাণিত) \begin{aligned}& \text{ বা, } \tan^{-1} \frac{x+y}{1-x y}+\tan^{-1} z=\pi \\& \text{ বা, } \tan^{-1} \frac{\frac{x+y}{1-x y}+z}{1-\frac{x+y}{1-x y} \cdot z}=\pi \\& \text{ বা, } \frac{\frac{x+y+z-x y z}{1-x y}}{\frac{1-x y-x z-y z}{1-x y}}=\tan \pi \\& \text{ বা, } \frac{x+y+z-x y z}{1-x y-y z-z x}=0 \\& \text{ বা, } x+y+z-x y z=0 \\& \therefore x+y+z=x y z \text{ (প্রমাণিত) }\end{aligned}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন