Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এবং [গণিত] L.H.S [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] দ্বারা ভাগ করে] [গণিত] RHS (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡f(x) = \cos x; b(x)=tan⁡b(x) = \tan–1x

Dhaka · 2021

উত্তর

L.H.S=cot⁡−1(tan⁡2φ)+cot⁡−1(−tan⁡3φ)L.H.S =\cot^{-1}(\tan 2 \varphi)+\cot^{-1}(-\tan 3 \varphi) =cot⁡−1{cot⁡(π2−2φ)}−cot⁡−1{cot⁡(π2−3φ)}=\cot^{-1}\left\{\cot \left(\frac{\pi}{2}-2 \varphi\right)\right\}-\cot^{-1}\left\{\cot \left(\frac{\pi}{2}-3 \varphi\right)\right\} =π2−2φ−π2−3φ=\frac{\pi}{2}-2 \varphi-\frac{\pi}{2}-3 \varphi =φ=\varphi = RHS =\text{ RHS }

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(2θ)=cos⁡2θ\therefore f(2 \theta)=\cos 2 \theta ∴f(π2−2θ)=cos⁡(π2−2θ)=sin⁡2θ\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)=\sin 2 \theta এখন, (2+3)f(2θ)=1−f(π2−2θ)(2+\sqrt{3}) f(2 \theta)=1-f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right) ⇒(2+3)cos⁡2θ=1−sin⁡2θ\Rightarrow(2+\sqrt{3}) \cos 2 \theta=1-\sin 2 \theta ⇒(2+3)(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=cos⁡2θ+sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ\Rightarrow(2+\sqrt{3})\left(\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta\right)=\cos^{2} \theta+\sin^{2} \theta-2 \sin \theta \cos \theta ⇒(2+3)(cos⁡2θ−sin⁡2θ)−(cos⁡θ−sin⁡θ)2=0\Rightarrow(2+\sqrt{3})\left(\cos^{2} \theta-\sin^{2} \theta\right)-(\cos \theta-\sin \theta)^{2}=0 ⇒(cos⁡θ−sin⁡θ){(2+3)(cos⁡θ−sin⁡θ)−(cos⁡θ−sin⁡θ)}=0\Rightarrow(\cos \theta-\sin \theta)\{(2+\sqrt{3})(\cos \theta-\sin \theta)-(\cos \theta-\sin \theta)\}=0 ⇒sin⁡θ=cos⁡θ\Rightarrow \sin \theta=\cos \theta ⇒tan⁡θ=tan⁡π4\Rightarrow \tan \theta=\tan \frac{\pi}{4} ∴θ=nπ+π4,n∈Z\therefore \theta=\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} অথবা, (2+3)(cos⁡θ−sin⁡θ)−(cos⁡θ−sin⁡θ)=0(2+\sqrt{3})(\cos \theta-\sin \theta)-(\cos \theta-\sin \theta)=0 ⇒(2+3)(cos⁡θ−sin⁡θ)=(cos⁡θ−sin⁡θ)\Rightarrow(2+\sqrt{3})(\cos \theta-\sin \theta)=(\cos \theta-\sin \theta) ⇒cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ−sin⁡θ=12+3\Rightarrow \frac{\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta-\sin \theta}=\frac{1}{2+\sqrt{3}} ⇒cos⁡θ+sin⁡θ+cos⁡θ−sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ−cos⁡θ+sin⁡θ=1+2+31−2−3\Rightarrow \frac{\cos \theta+\sin \theta+\cos \theta-\sin \theta}{\cos \theta+\sin \theta-\cos \theta+\sin \theta}=\frac{1+2+\sqrt{3}}{1-2-\sqrt{3}} [যোজন-বিয়োজন] ⇒2cos⁡θ2sin⁡θ=3+3−1−3\Rightarrow \frac{2 \cos \theta}{2 \sin \theta}=\frac{3+\sqrt{3}}{-1-\sqrt{3}} ⇒tan⁡θ=3(1+3)−1(1+3)\Rightarrow \tan \theta=\frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{-1(1+\sqrt{3)}} ⇒tan⁡θ=−13=−tan⁡π6=tan⁡(−π6)\Rightarrow \tan \theta=\frac{-1}{\sqrt{3}}=-\tan \frac{\pi}{6}=\tan \left(-\frac{\pi}{6}\right) ∴θ=nπ−π6,n∈Z\therefore \theta=\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{6}, \mathrm{n} \in \mathrm{Z} নির্ণের সমাধান: θ=nπ+π4,nπ−π6,n∈Z\theta=n \pi+\frac{\pi}{4}, n \pi-\frac{\pi}{6}, n \in \mathbb{Z}

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} এবং h(x)=tan⁡−1x\mathrm{h}(\mathrm{x})=\tan^{-1} \mathrm{x} ∴h(a−ba+btan⁡θ2)=tan⁡−1(a−ba+btan⁡θ2)\therefore \mathrm{h}\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right) L.H.S =2 h(a−ba+btan⁡θ2)=2 \mathrm{~h}\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right) =2tan⁡−1(a−ba+btan⁡θ2)=2 \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \tan \frac{\theta}{2}\right) =cos⁡−1(1−a−ba+btan⁡2θ21+a−ba+btan⁡2θ2)=\cos^{-1}\left(\frac{1-\frac{a-b}{a+b} \tan^{2} \frac{\theta}{2}}{1+\frac{a-b}{a+b} \tan^{2} \frac{\theta}{2}}\right) =cos⁡−1(a+b−(a−b)tan⁡2θ2a+b+(a−b)tan⁡2θ2)[(a+b)=\cos^{-1}\left(\frac{a+b-(a-b) \tan^{2} \frac{\theta}{2}}{a+b+(a-b) \tan^{2} \frac{\theta}{2}}\right) \quad[(\mathrm{a}+\mathrm{b}) দ্বারা ভাগ করে] =cos⁡−1a+b−atan⁡2θ2+btan⁡2θ2a+b−atan⁡2θ2−btan⁡2θ2=\cos^{-1} \frac{a+b-a \tan^{2} \frac{\theta}{2}+b \tan^{2} \frac{\theta}{2}}{a+b-\operatorname{atan}^{2} \frac{\theta}{2}-b \tan^{2} \frac{\theta}{2}} =cos⁡−1a(1−tan⁡2θ2)+b(1+tan⁡2θ2)a(1−tan⁡2θ2)+b(1−tan⁡2θ2)=\cos^{-1} \frac{a\left(1-\tan^{2} \frac{\theta}{2}\right)+b\left(1+\tan^{2} \frac{\theta}{2}\right)}{a\left(1-\tan^{2} \frac{\theta}{2}\right)+b\left(1-\tan^{2} \frac{\theta}{2}\right)} =cos⁡−1a(1−tan⁡2θ21+tan⁡2θ2)+ba+b(1−tan⁡2θ21+tan⁡2θ2)[1+tan⁡2θ2=\cos^{-1} \frac{a\left(\frac{1-\tan^{2} \frac{\theta}{2}}{1+\tan^{2} \frac{\theta}{2}}\right)+b}{a+b\left(\frac{1-\tan^{2} \frac{\theta}{2}}{1+\tan^{2} \frac{\theta}{2}}\right)}\left[1+\tan^{2} \frac{\theta}{2}\right. দ্বারা ভাগ করে] =cos⁡−1acos⁡θ+ba+bcos⁡θ=\cos^{-1} \frac{a \cos \theta+b}{a+b \cos \theta} =cos⁡−1b+af(θ)a+bf(θ)=\cos^{-1} \frac{b+a f(\theta)}{a+b f(\theta)} == RHS (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন