Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে দেখাও যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] হলে, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

হলে দেখাও যে,

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡x−cos⁡7xf(x)=\cos x-\cos 7 x এবং g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x

Comilla · 2023

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡−12x1+x2=\sin^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}} ধরি, x=tan⁡θx=\tan \theta ∴θ=tan⁡−1x\therefore \quad \theta=\tan^{-1} x =sin⁡−12tan⁡θ1+tan⁡2θ=sin⁡−1(sin⁡2θ)=2θ=2tan⁡−1x=\sin^{-1} \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^{2} \theta}=\sin^{-1}(\sin 2 \theta)=2 \theta=2 \tan^{-1} x ডানপক্ষ =cos⁡−11−x21+x2=\cos^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}} =cos⁡−11−tan⁡2θ1+tan⁡2θ=cos⁡−1(cos⁡2θ)=2θ=2tan⁡−1x=\cos^{-1} \frac{1-\tan^{2} \theta}{1+\tan^{2} \theta}=\cos^{-1}(\cos 2 \theta)=2 \theta=2 \tan^{-1} x ∴\therefore বামপক্ষ = ডানপক্ষ অর্থাৎ, sin⁡−12x1+x2=cos⁡−11−x21+x2\sin^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}=\cos^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡x−cos⁡7xf(x)=\cos x-\cos 7 x ∴f(α)=cos⁡α−cos⁡7α\therefore f(\alpha)=\cos \alpha-\cos 7 \alpha এ খানে, f(α)=sin⁡4αf(\alpha)=\sin 4 \alpha বা, cos⁡α−cos⁡7α=sin⁡4α\cos \alpha-\cos 7 \alpha=\sin 4 \alpha বা, 2sin⁡7α+α2sin⁡7α−α2=sin⁡4α2 \sin \frac{7 \alpha+\alpha}{2} \sin \frac{7 \alpha-\alpha}{2}=\sin 4 \alpha বা, 2sin⁡4αsin⁡3α−sin⁡4α=02 \sin 4 \alpha \sin 3 \alpha-\sin 4 \alpha=0 বা, sin⁡4α(2sin⁡3α−1)=0\sin 4 \alpha(2 \sin 3 \alpha-1)=0 হয়, sin⁡4α=0\sin 4 \alpha=0 \quad বা, 4α=nπ;n∈Z4 \alpha=\mathrm{n} \pi ; \mathrm{n} \in \mathrm{Z} ∴α=nπ4\therefore \quad \alpha=\frac{n \pi}{4} অথবা, 2sin⁡3α=12 \sin 3 \alpha=1 বা, sin⁡3α=12\sin 3 \alpha=\frac{1}{2} বা, sin⁡3α=sin⁡π6\sin 3 \alpha=\sin \frac{\pi}{6} বা, 3α=nπ+(−1)nπ6;n∈Z3 \alpha=\mathrm{n} \pi+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{6} ; \mathrm{n} \in \mathrm{Z} ∴α=nπ3+(−1)nπ18\therefore \quad \alpha=\frac{\mathrm{n} \pi}{3}+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{18} নির্ণেয় সমাধান : α=nπ4,nπ3+(−1)nπ18\alpha=\frac{\mathrm{n} \pi}{4}, \frac{\mathrm{n} \pi}{3}+(-1)^{\mathrm{n}} \frac{\pi}{18}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathrm{Z}.

উত্তর

দেওয়া আছে, g(x)=sin⁡xg(x)=\sin x g(π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡xg\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x g(πg(π2−x))=g(πcos⁡x)=sin⁡(πcos⁡x)g\left(\pi g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=g(\pi \cos x)=\sin (\pi \cos x) g(π2−πg(x))=g(π2−πsin⁡x)g\left(\frac{\pi}{2}-\pi g(x)\right)=g\left(\frac{\pi}{2}-\pi \sin x\right) =sin⁡(π2−πsin⁡x)=cos⁡(πsin⁡x)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-\pi \sin x\right)=\cos (\pi \sin x) এখন, g(πg(π2−x))=g(π2−πg(x))g\left(\pi g\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)=g\left(\frac{\pi}{2}-\pi g(x)\right) হলে, sin⁡(πcos⁡x)=cos⁡(πsin⁡x)\sin (\pi \cos x)=\cos (\pi \sin x) বা, sin⁡(πcos⁡x)=sin⁡(π2±πsin⁡x)\sin (\pi \cos x)=\sin \left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin x\right) বা, πcos⁡x=π2±πsin⁡x\pi \cos x=\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin x বা, cos⁡x=12±sin⁡x\cos x=\frac{1}{2} \pm \sin x বা, cos⁡x±sin⁡x=12\cos x \pm \sin x=\frac{1}{2} বা, 12cos⁡x±12sin⁡x=122\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡(x±π4)=122\cos \left(x \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, x±π4=cos⁡−1122x \pm \frac{\pi}{4}=\cos^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}} ∴x=±π4+cos⁡−1(122)⋅\therefore \quad x= \pm \frac{\pi}{4}+\cos^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right) \cdot (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন