Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] সমীকরণের দুইটি মূল [গণিত] ও [গণিত] হলে প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] প্রদত্ত সমীকরণ, [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] এবং [গণিত] নং এবং [গণিত] নং হতে পাই, বা. [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা. [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমীকরণের দুইটি মূল ও হলে প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta একটি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন।

রংপুর ক্যাডেট কলেজ · 2025

উত্তর

দেওয়া আছে, sin⁡x−sin⁡x2=0\sin x-\sin \frac{x}{2}=0 বা. 2cos⁡x+x22sin⁡x−x22=02 \cos \frac{x+\frac{x}{2}}{2} \sin \frac{x-\frac{x}{2}}{2}=0 বা, 2cos⁡(3x2×12)sin⁡(x2×12)=02 \cos \left(\frac{3 x}{2} \times \frac{1}{2}\right) \sin \left(\frac{x}{2} \times \frac{1}{2}\right)=0 বা, 2cos⁡3x4sin⁡x4=02 \cos \frac{3 x}{4} \sin \frac{x}{4}=0 বা, cos⁡3x4⋅sin⁡x4=0\cos \frac{3 x}{4} \cdot \sin \frac{x}{4}=0 হয়. cos⁡3x4=0\cos \frac{3 x}{4}=0 বা, 3x4=(2n+1)π2\frac{3 x}{4}=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} বা, x=2(2n+1)π3x=2(2 n+1) \frac{\pi}{3} ∴x=(4n+2)π3\therefore \quad x=(4 n+2) \frac{\pi}{3} অথবা, sin⁡x4=0\sin \frac{x}{4}=0 বা, x4=nπ\frac{x}{4}=n \pi; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=4nπ\therefore x=4 n \pi n=0n=0 হলে , x=2π3,0x=\frac{2 \pi}{3}, 0 n=1n=1 হলে, x=2π4πx=2 \pi 4 \pi n=−1n=-1 হলে, x=−2π3,−4πx=-\frac{2 \pi}{3},-4 \pi n=2n=2 হলে, x=10π3,8πx=\frac{10 \pi}{3}, 8 \pi ∴0≤x≤2π\therefore \quad 0 \leq x \leq 2 \pi সীমার মধ্যে x=0,2π3,2πx=0, \frac{2 \pi}{3}, 2 \pi. নির্ণেয় মান : x=0,2π3,2πx=0, \frac{2 \pi}{3}, 2 \pi.

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta প্রদত্ত সমীকরণ, asin⁡θf(θ)+bf(θ)=c\frac{\mathrm{a} \sin \theta}{f(\theta)}+\frac{\mathrm{b}}{f(\theta)}=\mathrm{c} বা. asin⁡θcos⁡θ+bcos⁡θ=c\frac{a \sin \theta}{\cos \theta}+\frac{b}{\cos \theta}=c বা, asin⁡θ+b=ccos⁡θa \sin \theta+b=c \cos \theta বা. asin⁡θ−ccos⁡θ=−ba \sin \theta-c \cos \theta=-b…...(i)\ldots...(i) সমীকরণের মূলদ্বয় α\alpha ও β\beta হলে, asin⁡α−ccos⁡α=−ba \sin \alpha-c \cos \alpha=-b…...(ii)\ldots...(ii) এবং asin⁡β−ccos⁡β=−ba \sin \beta-c \cos \beta=-b…...(iii)\ldots...(iii) (ii)(ii) নং এবং (iii)(iii) নং হতে পাই, বা. asin⁡α−ccos⁡α=asin⁡β−c⋅cos⁡βa \sin \alpha-c \cos \alpha=a \sin \beta-c \cdot \cos \beta বা. asin⁡α−asin⁡β=c⋅cos⁡α−ccos⁡βa \sin \alpha-a \sin \beta=c \cdot \cos \alpha-c \cos \beta বা, a(sin⁡α−sin⁡β)=−c(cos⁡β−cos⁡α)a(\sin \alpha-\sin \beta)=-c(\cos \beta-\cos \alpha) বা. cos⁡β−cos⁡αsin⁡α−sin⁡β=a−c\frac{\cos \beta-\cos \alpha}{\sin \alpha-\sin \beta}=\frac{a}{-c} বা, 2sin⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)2cos⁡(α+β2)sin⁡(α−β2)=−ac\frac{2 \sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin \left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}=-\frac{a}{c} বা, sin⁡(α+β2)cos⁡(α+β2)=−ac\frac{\sin \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\cos \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}=-\frac{a}{c} বা. tan⁡(α+β2)=−ac\tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)=-\frac{a}{c} বামপক্ষ =tan⁡(α+β)=\tan (\alpha+\beta) =tan⁡(2⋅α+β2)=2tan⁡(α+β2)1−tan⁡2(α+β2)=2×(−ac)1−(−ac)2=−2ac1−a2c2=−2acc2−a2c2=−2ac−(a2−c2)c2\begin{aligned} & =\tan \left(2 \cdot \frac{\alpha+\beta}{2}\right)=\frac{2 \tan \left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{1-\tan^2\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)} \\ & =\frac{2 \times\left(-\frac{a}{c}\right)}{1-\left(-\frac{a}{c}\right)^2}=\frac{-\frac{2 a}{c}}{1-\frac{a^2}{c^2}}=\frac{-\frac{2 a}{c}}{\frac{c^2-a^2}{c^2}}=\frac{-\frac{2 a}{c}}{\frac{-\left(a^2-c^2\right)}{c^2}}\end{aligned} =2ac×c2a2−c2=2aca2−c2==\frac{2 a}{c} \times \frac{c^2}{a^2-c^2}=\frac{2 a c}{a^2-c^2}= ডানপক্ষ ∴tan⁡(α+β)=2aca2−c2\therefore \tan (\alpha+\beta)=\frac{2 \mathrm{ac}}{\mathrm{a}^2-\mathrm{c}^2} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta প্রদত্ত সমীকরণ, log⁡2(sin⁡θ−f(θ))3π=2(tan⁡−16+tan⁡−175)\log_2(\sin \theta-f(\theta))^{3 \pi}=2\left(\tan^{-1} 6+\tan^{-1} \frac{7}{5}\right) বা, log⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)3π=2(π+tan⁡−16+751−6×75)[∵6×75>1]\log_2(\sin \theta-\cos \theta)^{3 \pi}=2\left(\pi+\tan^{-1} \frac{6+\frac{7}{5}}{1-6 \times \frac{7}{5}}\right)\left[\because 6 \times \frac{7}{5}>1\right] বা, log⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)3π=2(π+tan⁡−1375−375)\log_2(\sin \theta-\cos \theta)^{3 \pi}=2\left(\pi+\tan^{-1} \frac{\frac{37}{5}}{\frac{-37}{5}}\right) বা, 3πlog⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=2{π+tan⁡−1(−1)}3 \pi \log_2(\sin \theta-\cos \theta)=2\left\{\pi+\tan^{-1}(-1)\right\} বা, 3πlog⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=2(π−π4)3 \pi \log_2(\sin \theta-\cos \theta)=2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right) বা, 3πlog⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=2×3π4=3π23 \pi \log_2(\sin \theta-\cos \theta)=2 \times \frac{3 \pi}{4}=\frac{3 \pi}{2} বা, log⁡2(sin⁡θ−cos⁡θ)=12\log_2(\sin \theta-\cos \theta)=\frac{1}{2} বা, sin⁡θ−cos⁡θ=212=2\sin \theta-\cos \theta=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2} বা, 12sin⁡θ−12cos⁡θ=22\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} [উভয়পক্ষকে 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2} দ্বারা ভাগ করে] বা, sin⁡θ⋅sin⁡π4−cos⁡θ⋅sin⁡π4=1\sin \theta \cdot \sin \frac{\pi}{4}-\cos \theta \cdot \sin \frac{\pi}{4}=1 বা, sin⁡(θ−π4)=1\sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=1. বা, θ−π4=(4n+1)π2\theta-\frac{\pi}{4}=(4 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} বা. θ=2nπ+π2+π4=2nπ+3π4\theta=2 \mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}=2 \mathrm{n} \pi+\frac{3 \pi}{4} ∴θ=(8n+3)π4\therefore \quad \theta=(8 n+3) \frac{\pi}{4} এখন, n=0n = 0 হলে, θ=3π4\theta=\frac{3 \pi}{4} n=1n = 1 হলে, θ=11π4\theta=\frac{11 \pi}{4} n=−1n = - 1 হলে, θ=−5π4\theta=-\frac{5 \pi}{4} n=2n = 2 হলে, θ=19π4\theta=\frac{19 \pi}{4} n=−2n = - 2 হলে, θ=−13π4\theta=-\frac{13 \pi}{4} −2π≤θ≤2π-2 \pi \leq \theta \leq 2 \pi ব্যবধিতে θ=−5π4,3π4\theta=-\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{4} নির্ণেয় সমাধান : θ=−5π4,3π4\theta=-\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণরংপুর ক্যাডেট কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন