Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: চিত্র হতে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

দৃশ্যকল্প-১ এর আলোকে প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প-১: question image দশ্যকল্প-২ : f(x)=cos⁡xf(\mathbf{x})=\cos \mathbf{x}.

Comilla · 2025

উত্তর

sec⁡−1345+sin⁡−1117=tan⁡−135+tan⁡−114=tan⁡−135+141−35⋅14=12+52020−320=tan⁡−117201720=tan⁡−11=tan⁡−1tan⁡π4=π4\begin{aligned} & \sec^{-1} \frac{\sqrt{34}}{5}+\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{17}} \\ & =\tan^{-1} \frac{3}{5}+\tan^{-1} \frac{1}{4} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{3}{5}+\frac{1}{4}}{1-\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4}}=\frac{\frac{12+5}{20}}{\frac{20-3}{20}} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{17}{20}}{\frac{17}{20}}=\tan^{-1} 1=\tan^{-1} \tan \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\end{aligned} নির্ণেয় মান : π4\frac{\pi}{4}.

উত্তর

চিত্র হতে, sin⁡θ=1213\sin \theta=\frac{12}{13} ∴θ=sin⁡−11213\therefore \quad \theta=\sin^{-1} \frac{12}{13} বামপক্ষ =12θ+cosec⁡⁡−153=\frac{1}{2} \theta+\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{5}{3} =12sin⁡−11213+tan⁡−134=12sin⁡−12×231+(23)2+tan⁡−134\begin{aligned} & =\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{12}{13}+\tan^{-1} \frac{3}{4} \\ & =\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 \times \frac{2}{3}}{1+\left(\frac{2}{3}\right)^2}+\tan^{-1} \frac{3}{4}\end{aligned} =12×2tan⁡−123+tan⁡−134[∵2tan⁡−1x=sin⁡−12x1+x2]=tan⁡−123+tan⁡−134=tan⁡−123+341−23⋅34=tan⁡−18+9121−12=tan⁡−1171212=tan⁡−1(1712×21)=tan⁡−1(176)\begin{aligned} & =\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1} \frac{2}{3}+\tan^{-1} \frac{3}{4}\left[\because 2 \tan^{-1} x=\sin^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right] \\ & =\tan^{-1} \frac{2}{3}+\tan^{-1} \frac{3}{4}=\tan^{-1} \frac{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}}{1-\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{8+9}{12}}{1-\frac{1}{2}}=\tan^{-1} \frac{\frac{17}{12}}{\frac{1}{2}} \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{17}{12} \times \frac{2}{1}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\end{aligned} ডানপক্ষ =cot⁡−12+cot⁡−12928=\cot^{-1} 2+\cot^{-1} \frac{29}{28} =tan⁡−112+tan⁡−12829=tan⁡−112+28291−12⋅2829=tan⁡−112+28291−1429=tan⁡−129+565829−1429=tan⁡−185581529=tan⁡−1(8558×2915)=tan⁡−1(176)\begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{1}{2}+\tan^{-1} \frac{28}{29} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{1}{2}+\frac{28}{29}}{1-\frac{1}{2} \cdot \frac{28}{29}}=\tan^{-1} \frac{\frac{1}{2}+\frac{28}{29}}{1-\frac{14}{29}} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{29+56}{\frac{58}{29-14}}}{29}=\tan^{-1} \frac{\frac{85}{58}}{\frac{15}{29}} \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{85}{58} \times \frac{29}{15}\right)=\tan^{-1}\left(\frac{17}{6}\right)\end{aligned} ∴12θ+cosec⁡⁡−153=cot⁡−12+cot⁡−12928\therefore \quad \frac{1}{2} \theta+\operatorname{\cosec}^{-1} \frac{5}{3}=\cot^{-1} 2+\cot^{-1} \frac{29}{28}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে. f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x এখন, 3f(x)+f(π2+x)=1\sqrt{3} f(\mathrm{x})+f\left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{x}\right)=1 বা, 3cos⁡x+cos⁡(π2+x)=1\sqrt{3} \cos x+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1 বা, 3cos⁡x−sin⁡x=1\sqrt{3} \cos x-\sin x=1 বা, 32cos⁡x−12sin⁡x=12\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2} \sin x=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে (3)2+12\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2} বা, 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, cos⁡π6cos⁡x−sin⁡π6sin⁡x=12\cos \frac{\pi}{6} \cos x-\sin \frac{\pi}{6} \sin x=\frac{1}{2} বা. cos⁡(π6+x)=cos⁡π3\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right)=\cos \frac{\pi}{3} বা, π6+x=2nπ±π3\frac{\pi}{6}+\mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, x=2nπ±π3−π6\mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, x=2nπ+π6,2nπ−π2;x=2 n \pi+\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{2} ; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=(12n+1)π6,(4n−1)π2;\therefore \quad \mathrm{x}=(12 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{6},(4 \mathrm{n}-1) \frac{\pi}{2} ; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} n=0n = 0 হলে, x=−π2,π6x=-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6} n=1n = 1 হলে, x=13π6,3π2x=\frac{13 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2} n=−1n = - 1 হলে, x=−11π6,−5π2x=\frac{-11 \pi}{6}, \frac{-5 \pi}{2} n=2n = 2 হলে, x=25π6,7π2x=\frac{25 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2} n=−2n = - 2 হলে, x=−23π6,−9π2x=\frac{-23 \pi}{6}, \frac{-9 \pi}{2} −2π<x<2π-2 \pi<x<2 \pi ব্যবধিতে x=−11π6,−π2,π6,3π2x=\frac{-11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2} নির্ণেয় সমাধান : −11π6,−π2,π6,3π2\frac{-11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণComilla
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন