Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: ধরি, [গণিত] আমরা জানি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}.

Jessore · 2025

উত্তর

ধরি, cos⁡−1x=θ\cos^{-1} x=\theta ∴cos⁡θ=x\therefore \quad \cos \theta=\mathrm{x} আমরা জানি, cos⁡θ=2cos⁡2θ2−1\cos \theta=2 \cos^2 \frac{\theta}{2}-1 বা, 2cos⁡2θ2=cos⁡θ+12 \cos^2 \frac{\theta}{2}=\cos \theta+1 বা, cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\cos^2 \frac{\theta}{2}=\frac{1+\cos \theta}{2} বা, cos⁡θ2=1+cos⁡θ2\cos \frac{\theta}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} বা, θ2=cos⁡−11+cos⁡θ2\frac{\theta}{2}=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+\cos \theta}{2}} বা, cos⁡−1x2=cos⁡−11+x2\frac{\cos^{-1} x}{2}=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} ∴12cos⁡−1x=cos⁡−11+x2\therefore \quad \frac{1}{2} \cos^{-1} x=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta ∴P=f(π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡θ\therefore \quad P=f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin \theta এবং Q=f(2θ)=cos⁡2θQ=f(2 \theta)=\cos 2 \theta বামপক্ষ =sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=\sin^{-1}(\sqrt{2} \mathrm{P})+\sin^{-1} \sqrt{\mathrm{Q}} =sin⁡−1(2sin⁡θ)+sin⁡−1(cos⁡2θ)=sin⁡−1{2sin⁡θ1−cos⁡2θ+cos⁡2θ⋅1−2sin⁡2θ}[∵sin⁡−1x+sin⁡−1y=sin⁡−1{x1−y2+y1−x2}]=sin⁡−1(2sin⁡θ2sin⁡2θ+cos⁡2θ⋅cos⁡2θ)=sin⁡−1(2sin⁡θ⋅2sin⁡θ+cos⁡2θ⋅cos⁡2θ)=sin⁡−1(2sin⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡−1(1−cos⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡−11=sin⁡−1sin⁡π2\begin{aligned} & =\sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-\cos 2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{1-2 \sin^2 \theta}\right\} \\ & \quad\left[\because \sin^{-1} x+\sin^{-1} y=\sin^{-1}\left\{x \sqrt{1-y^2}+y \sqrt{1-x^2}\right\}\right] \\ & =\sin^{-1}\left(\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{2 \sin^2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{\cos 2 \theta}\right) \\ & =\sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2} \sin \theta+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}\left(2 \sin^2 \theta+\cos 2 \theta\right) \\ & =\sin^{-1}(1-\cos 2 \theta+\cos 2 \theta) \\ & =\sin^{-1} 1=\sin^{-1} \sin \frac{\pi}{2}\end{aligned} =π2==\frac{\pi}{2}= ডানপক্ষ ∴sin⁡−1(2P)+sin⁡−1Q=π2\therefore \quad \sin^{-1}(\sqrt{2} \mathrm{P})+\sin^{-1} \sqrt{\mathrm{Q}}=\frac{\pi}{2} (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(θ)=cos⁡θf(\theta)=\cos \theta এখন, 4f(θ)f(2θ)f(3θ)=14 f(\theta) f(2 \theta) f(3 \theta)=1, যখন 0∘<θ<π0^{\circ}<\theta<\pi বা. 4cos⁡θcos⁡2θcos⁡3θ=14 \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta=1 বা, (2cos⁡θcos⁡3θ)(2cos⁡2θ)=1(2 \cos \theta \cos 3 \theta)(2 \cos 2 \theta)=1 বা, (cos⁡4θ+cos⁡2θ)(2cos⁡2θ)=1(\cos 4 \theta+\cos 2 \theta)(2 \cos 2 \theta)=1 বা, 2cos⁡4θcos⁡2θ+2cos⁡22θ−1=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+2 \cos^2 2 \theta-1=0 বা. 2cos⁡4θcos⁡2θ+cos⁡4θ=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+\cos 4 \theta=0 বা, cos⁡4θ(2cos⁡2θ+1)=0\cos 4 \theta(2 \cos 2 \theta+1)=0 হয়, cos⁡4θ=0\cos 4 \theta=0 বা, 4θ=(2n+1)π24 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} ∴θ=(2n+1)π8\therefore \quad \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8} অথবা, 2cos⁡2θ+1=02 \cos 2 \theta+1=0 বা, 2cos⁡2θ=−12 \cos 2 \theta=-1 বা, cos⁡2θ=−12=cos⁡2π3\cos 2 \theta=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} বা, 2θ=2nπ±2π32 \theta=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} ∴θ=nπ±π3\therefore \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3} n=0n = 0 হলে, θ=π8,π3,−π3\theta=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{-\pi}{3} n=1n = 1হলে, θ=3π8,4π3,2π3\theta=\frac{3 \pi}{8}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3} n=−1n = -1হলে, θ=−π8,−2π3,−4π3\theta=-\frac{\pi}{8},-\frac{2 \pi}{3},-\frac{4 \pi}{3} n=2n = 2 হলে, θ=5π8,7π3,5π3\theta=\frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3} n=3n = 3 হলে, θ=7π8,10π3,8π3\theta=\frac{7 \pi}{8}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3} n=4n = 4 হলে, θ=9π8,13π3,11π3\theta=\frac{9 \pi}{8}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3} 0<θ<π0<\theta<\pi ব্যবধিতে x=π8,π3,3π8,5π8,2π3,7π8x=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8} নির্ণেয় সমাধান : θ=π8,π3,3π8,5π8,2π3,7π8\theta=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণJessore
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন