Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

সমাধান কর : [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] এখানে, [গণিত] ; যখন [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] হয়, [গণিত] বা, [গণিত] , যেখানে [গণিত] অথবা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] , যেখানে [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] হলে, [গণিত] ব্যবধিতে [গণিত] নির্ণেয় সমাধান : [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

সমাধান কর : .

উদ্দীপক

উদ্দীপক : f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x}.

সরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া · 2025

উত্তর

ধরি, θ=tan⁡−1x\theta=\tan^{-1} \sqrt{x} \quad বা, tan⁡θ=x\tan \theta=\sqrt{x} আমরা জানি, cos⁡2θ=1−tan⁡2θ1+tan⁡2θ\cos 2 \theta=\frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} বা, cos⁡2θ=1−(x)21+(x)2=1−x1+x\cos 2 \theta=\frac{1-(\sqrt{x})^2}{1+(\sqrt{x})^2}=\frac{1-x}{1+x} বা, 2θ=cos⁡−1(1−x1+x)2 \theta=\cos^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) বা, θ=12cos⁡−1(1−x1+x)\theta=\frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) ∴tan⁡−1x=12cos⁡−1(1−x1+x)\therefore \quad \tan^{-1} \sqrt{x}=\frac{1}{2} \cos^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right). (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x ∴f(2x)=cos⁡2x\therefore f(2 x) =\cos 2 x f(3x)=cos⁡3xf(3 x) =\cos 3 x এখানে, f(x)+f(2x)+f(3x)=0f(x)+f(2 x)+f(3 x)=0; যখন −2π≤x≤2π-2 \pi \leq x \leq 2 \pi বা, cos⁡x+cos⁡2x+cos⁡3x=0\cos x+\cos 2 x+\cos 3 x=0 বা, cos⁡3x+cos⁡x+cos⁡2x=0\cos 3 x+\cos x+\cos 2 x=0 বা, 2cos⁡3x+x2cos⁡3x−x2+cos⁡2x=02 \cos \frac{3 x+x}{2} \cos \frac{3 x-x}{2}+\cos 2 x=0 বা, 2cos⁡2xcos⁡x+cos⁡2x=02 \cos 2 x \cos x+\cos 2 x=0 বা, cos⁡2x(2cos⁡x+1)=0\cos 2 x(2 \cos x+1)=0 হয়, cos⁡2x=0\cos 2 x=0 বা, 2x=(2n+1)π22 x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=(2n+1)π4\therefore \quad x=(2 n+1) \frac{\pi}{4} অথবা, 2cos⁡x+1=02 \cos x+1=0 বা, 2cos⁡x=−12 \cos x=-1 বা, cos⁡x=−12=cos⁡2π3\cos x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3} ∴x=2nπ±2π3\therefore x=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} n=0\mathrm{n}=0 হলে,x=π4,±2π3x=\frac{\pi}{4}, \pm \frac{2 \pi}{3} n=1\mathrm{n}=1 হলে, x=3π4,8π3,4π3x=\frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{3}, \frac{4 \pi}{3} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, x=−π4,−4π3,−8π3x=-\frac{\pi}{4},-\frac{4 \pi}{3},-\frac{8 \pi}{3} n=2\mathrm{n}=2 হলে, x=5π4,14π3,10π3x=\frac{5 \pi}{4}, \frac{14 \pi}{3}, \frac{10 \pi}{3} n=−2\mathrm{n}=-2 হলে, x=−3π4,−10π3,−14π3x=-\frac{3 \pi}{4},-\frac{10 \pi}{3},-\frac{14 \pi}{3} n=3\mathrm{n}=3 হলে, x=7π4,20π3,16π3x=\frac{7 \pi}{4}, \frac{20 \pi}{3}, \frac{16 \pi}{3} n=−3\mathrm{n}=-3 হলে, x=−5π4,−16π3,−20π3x=-\frac{5 \pi}{4},-\frac{16 \pi}{3},-\frac{20 \pi}{3} n=4\mathrm{n}=4 হলে, x=9π4,26π3,22π3x=\frac{9 \pi}{4}, \frac{26 \pi}{3}, \frac{22 \pi}{3} n=−4\mathrm{n}=-4 হলে, x=−7π4,−22π3,−26π3x=-\frac{7 \pi}{4},-\frac{22 \pi}{3},-\frac{26 \pi}{3} −2π≤x≤2π-2 \pi \leq x \leq 2 \pi ব্যবধিতে x=−2π3,−4π3,−3π4,−5π4,−7π4,−π4,π4,2π3,3π4,4π3,5π4,7π4x=-\frac{2 \pi}{3},-\frac{4 \pi}{3},-\frac{3 \pi}{4},-\frac{5 \pi}{4},-\frac{7 \pi}{4},-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} নির্ণেয় সমাধান : x=−2π3,−4π3,−3π4,−5π4,−7π4,−π4,π4,2π3,3π4,4π3,5π4,7π4.x=-\frac{2 \pi}{3},-\frac{4 \pi}{3},-\frac{3 \pi}{4},-\frac{5 \pi}{4},-\frac{7 \pi}{4},-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4} .

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} ∴f(π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\therefore \quad f\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\cos \left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)=\sin \mathrm{x} এখানে, sin⁡{πf(x)}=cos⁡{πf(π2−x)}\sin \{\pi f(x)\}=\cos \left\{\pi f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right\} বা, sin⁡(πcos⁡x)=cos⁡(πsin⁡x)\sin (\pi \cos x)=\cos (\pi \sin x) বা, sin⁡(πcos⁡x)=sin⁡(π2±πsin⁡x)\sin (\pi \cos x)=\sin \left(\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin x\right) বা, πcos⁡x=π2±πsin⁡x\pi \cos x=\frac{\pi}{2} \pm \pi \sin x বা, cos⁡x=12±sin⁡x\quad \cos x=\frac{1}{2} \pm \sin x বা, cos⁡x±sin⁡x=12\cos x \pm \sin x=\frac{1}{2} বা, 12cos⁡x±12sin⁡x=122\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡π4cos⁡x±sin⁡π4sin⁡x=122\cos \frac{\pi}{4} \cos x \pm \sin \frac{\pi}{4} \sin x=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, cos⁡(x±π4)=122\cos \left(x \pm \frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2 \sqrt{2}} বা, x±π4=cos⁡−1122x \pm \frac{\pi}{4}=\cos^{-1} \frac{1}{2 \sqrt{2}} ∴x=±π4+cos⁡−1(122)\therefore \quad x= \pm \frac{\pi}{4}+\cos^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{2}}\right). ((প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণসরকারি আজিজুল হক কলেজ, বগুড়া
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন