Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] . (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=cos⁡xf(x)=\cos x

Barisal · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =tan⁡−129+tan⁡−114=\tan^{-1} \frac{2}{9}+\tan^{-1} \frac{1}{4} =tan⁡−129+141−29⋅14=tan⁡−18+93636−236=tan⁡−117363436=tan⁡−1(1736×3634)=tan⁡−1(12)=12×2tan⁡−1(12)=12sin⁡−12×121+(12)2[∵2tan⁡−1x=sin⁡−12x1+x2]\begin{aligned} & =\tan^{-1} \frac{\frac{2}{9}+\frac{1}{4}}{1-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4}}=\tan^{-1} \frac{\frac{8+9}{36}}{\frac{36-2}{36}} \\ & =\tan^{-1} \frac{\frac{17}{36}}{\frac{34}{36}}=\tan^{-1}\left(\frac{17}{36} \times \frac{36}{34}\right) \\ & =\tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \times 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ & =\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\left[\because 2 \tan^{-1} x=\sin^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right]\end{aligned} =12sin⁡−111+14=12sin⁡−1154=12sin⁡−145==\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{4}{5}= ডানপক্ষ ∴tan⁡−129+tan⁡−114=12sin⁡−145\therefore \quad \tan^{-1} \frac{2}{9}+\tan^{-1} \frac{1}{4}=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{4}{5}. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} বামপক্ষ =sin⁡−1(2f(π2−θ))+sin⁡−1(f(2θ)=\sin^{-1}\left(\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+\sin^{-1}(\sqrt{f(2 \theta)} =sin⁡−1(2cos⁡(π2−θ))+sin⁡−1(cos⁡2θ)=sin⁡−1(2sin⁡θ)+sin⁡−1(cos⁡2θ)=sin⁡−1{2sin⁡θ1−(cos⁡2θ)2+cos⁡2θ1−(2sin⁡θ)2}=sin⁡−1{2sin⁡θ1−cos⁡2θ+cos⁡2θ1−2sin⁡2θ}=sin⁡−1{2sin⁡θ⋅2sin⁡2θ+cos⁡2θcos⁡2θ}=sin⁡−1{2sin⁡θ⋅2sin⁡θ+cos⁡2θ}=sin⁡−1(2sin⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡−1(1−cos⁡2θ+cos⁡2θ)=sin⁡−1(1)=sin⁡−1sin⁡π2\begin{aligned} & =\sin^{-1}\left(\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}(\sqrt{2} \sin \theta)+\sin^{-1}(\sqrt{\cos 2 \theta}) \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-(\sqrt{\cos 2 \theta})^2}+\sqrt{\cos 2 \theta} \sqrt{1-(\sqrt{2} \sin \theta)^2}\right\} \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-\cos 2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \sqrt{1-2 \sin^2 \theta}\right\} \\ & =\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2 \sin^2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \sqrt{\cos 2 \theta}\right\} \\ & =\sin^{-1}\{\sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2} \sin \theta+\cos 2 \theta\} \\ & =\sin^{-1}\left(2 \sin^2 \theta+\cos 2 \theta\right) \\ & =\sin^{-1}(1-\cos 2 \theta+\cos 2 \theta) \\ & =\sin^{-1}(1) \\ & =\sin^{-1} \sin \frac{\pi}{2}\end{aligned} =π2=\frac{\pi}{2} = ডানপক্ষ ∴sin⁡−1(2f(π2−θ))+sin⁡−1(f(2θ)=π2\therefore \sin^{-1}\left(\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right)+\sin^{-1}\left(\sqrt{f(2 \theta)}=\frac{\pi}{2}\right.. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=cos⁡xf(\mathrm{x})=\cos \mathrm{x} এখন, 2f(α)−2f(π2−α)=1\sqrt{2} f(\alpha)-\sqrt{2} f\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=1 বা, 2cos⁡α−2cos⁡(π2−α)=1\sqrt{2} \cos \alpha-\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=1 বা, 2cos⁡α−2sin⁡α≐1\sqrt{2} \cos \alpha-\sqrt{2} \sin \alpha \doteq 1 বা, 22cos⁡α−22sin⁡α=12\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha-\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha=\frac{1}{2} [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে] বা, 12cos⁡α−12sin⁡α=12\frac{1}{\sqrt{2}} \cos \alpha-\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \alpha=\frac{1}{2} বা, cos⁡π4cos⁡α−sin⁡π4sin⁡α=12\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha-\sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha=\frac{1}{2} বা, cos⁡(π4+α)=cos⁡π3\cos \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\cos \frac{\pi}{3} বা, π4,+α=2nπ±π3;\frac{\pi}{4},+\alpha=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3} ; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} বা, α=2nπ±π3−π4\alpha=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4} বা, α=2nπ+π12,2nπ−7π12\alpha=2 n \pi+\frac{\pi}{12}, 2 n \pi-\frac{7 \pi}{12} ∴α=(24n+1)π12,(24n−7)π12;\therefore \quad \alpha=(24 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{12},(24 \mathrm{n}-7) \frac{\pi}{12} ; যেখানে n∈Z\mathrm{n} \in \mathbb{Z} n=0\mathrm{n}=0 হলে, α=π12,−7π12\alpha=\frac{\pi}{12}, \frac{-7 \pi}{12} n=1\mathrm{n}=1 হলে, α=25π12,17π12\alpha=\frac{25 \pi}{12}, \frac{17 \pi}{12} n=−1\mathrm{n}=-1 হলে, α=−23π12,−31π12\alpha=\frac{-23 \pi}{12}, \frac{-31 \pi}{12} −π<α<π-\pi<\alpha<\pi ব্যবধিতে, α=−7π12,π12\alpha=-\frac{7 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}. নির্ণেয় সমাধান : α=−7π12,π12\alpha=-\frac{7 \pi}{12}, \frac{\pi}{12}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণBarisal
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন