Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

[গণিত] হলে, দেখাও যে, [গণিত] .

উত্তর: Note : প্রশ্নে [গণিত] পরিবর্তে [গণিত] হবে। দেওয়া আছে, [গণিত] এখন, [গণিত] বা. [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [বর্গ করে] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] [উভয়পক্ষকে [গণিত] দ্বারা গুণ করে] [গণিত] . (দেখানো হলো )

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

হলে, দেখাও যে, .

উদ্দীপক

দৃশ্যকল্প : f(x)=1−sin⁡2xf(x)=\sqrt{1-\sin^2 x}

Sylhet · 2025

উত্তর

প্রদত্ত রাশি =sec⁡−1tan⁡{sin⁡(cos⁡−1x)}=\sec^{-1} \tan \left\{\sin \left(\cos^{-1} \mathrm{x}\right)\right\} =sec⁡−1tan⁡{sin⁡sin⁡−11−x21}=sec⁡−1tan⁡(1−x2)\begin{aligned} & =\sec^{-1} \tan \left\{\sin \sin^{-1} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1}\right\} \\ & =\sec^{-1} \tan \left(\sqrt{1-x^2}\right)\end{aligned} question image এখানে, sec⁡−1tan⁡(1−x2)\sec^{-1} \tan \left(\sqrt{1-x^2}\right) সংজ্ঞায়িত হবে যদি ∣tan⁡(1−x2)∣≥1\left|\tan \left(\sqrt{1-x^2}\right)\right| \geq 1 হয়। নির্ণেয় মান : sec⁡−1tan⁡(1−x2)\sec^{-1} \tan \left(\sqrt{1-x^2}\right).

উত্তর

Note : প্রশ্নে {f(xa)}−1+{f(yb)}−1=0\left\{f\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right\}^{-1}+\left\{f\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)\right\}^{-1}=0 পরিবর্তে {f(xa)}−1+{f(yb)}−1=θ\left\{f\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right\}^{-1} +\left\{f\left(\frac{y}{b}\right)\right\}^{-1}=\theta হবে। দেওয়া আছে, f(x)=1−sin⁡2x=cos⁡2x=cos⁡xf(x)=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=\cos x এখন, {f(xa)}−1+{f(yb)}−1=θ\left\{f\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)\right\}^{-1}+\left\{f\left(\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)\right\}^{-1}=\theta বা. (cos⁡xa)−1+(cos⁡yb)−1=θ\left(\cos \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}\right)^{-1}+\left(\cos \frac{\mathrm{y}}{\mathrm{b}}\right)^{-1}=\theta বা, cos⁡−1xa+cos⁡−1yb=θ\cos^{-1} \frac{x}{a}+\cos^{-1} \frac{y}{b}=\theta বা, cos⁡−1yb=θ−cos⁡−1xa\cos^{-1} \frac{y}{b}=\theta-\cos^{-1} \frac{x}{a} বা, yb=cos⁡(θ−cos⁡−1xa)\frac{y}{b}=\cos \left(\theta-\cos^{-1} \frac{x}{a}\right) =cos⁡θcos⁡(cos⁡−1xa)+sin⁡θsin⁡(cos⁡−1xa)=(cos⁡θ)(xa)+sin⁡θ1−cos⁡2(cos⁡−1xa)=xacos⁡θ+sin⁡θ1−x2a2\begin{aligned} & =\cos \theta \cos \left(\cos^{-1} \frac{x}{a}\right)+\sin \theta \sin \left(\cos^{-1} \frac{x}{a}\right) \\ & =(\cos \theta)\left(\frac{x}{a}\right)+\sin \theta \sqrt{1-\cos^2\left(\cos^{-1} \frac{x}{a}\right)} \\ & =\frac{x}{a} \cos \theta+\sin \theta \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\end{aligned} বা, yb−xacos⁡θ=sin⁡θ1−x2a2\frac{y}{b}-\frac{x}{a} \cos \theta=\sin \theta \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} বা, (yb−xacos⁡θ)2=sin⁡2θ(1−x2a2)\left(\frac{y}{b}-\frac{x}{a} \cos \theta\right)^2=\sin^2 \theta\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right) [বর্গ করে] বা, y2b2+x2a2cos⁡2θ−2xyabcos⁡θ=sin⁡2θ−x2a2sin⁡2θ\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2} \cos^2 \theta-2 \frac{x y}{a b} \cos \theta=\sin^2 \theta-\frac{x^2}{a^2} \sin^2 \theta বা, y2b2+x2a2(sin⁡2θ+cos⁡2θ)−2xyabcos⁡θ=sin⁡2θ\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2}{a^2}\left(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta\right)-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta=\sin^2 \theta বা, x2a2−2xyabcos⁡θ+y2b2=sin⁡2θ\frac{x^2}{a^2}-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta+\frac{y^2}{b^2}=\sin^2 \theta বা, a2b2x2a2−2a2b2xyabcos⁡θ+a2b2y2b2=a2b2sin⁡2θ\frac{a^2 b^2 x^2}{a^2}-\frac{2 a^2 b^2 x y}{a b} \cos \theta+\frac{a^2 b^2 y^2}{b^2}=a^2 b^2 \sin^2 \theta [উভয়পক্ষকে a2 b2\mathrm{a}^2 \mathrm{~b}^2 দ্বারা গুণ করে] ∴b2x2−2abxycos⁡θ+a2y2=a2b2sin⁡2θ\therefore \quad b^2 x^2-2 a b x y \cos \theta+a^2 y^2=a^2 b^2 \sin^2 \theta. (দেখানো হলো )

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=1−sin⁡2x=cos⁡2x=cos⁡xf(x)=\sqrt{1-\sin^2 x}=\sqrt{\cos^2 x}=\cos x এখন, f(x)+f(π2−x)=f(2x)+f(π2−2x)f(\mathbf{x})+f\left(\frac{\pi}{2}-\mathbf{x}\right)=f(2 \mathbf{x})+f\left(\frac{\pi}{2}-2 \mathbf{x}\right) বা, cos⁡x+cos⁡(π2−x)=cos⁡2x+cos⁡(π2−2x)\cos x+\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos 2 x+\cos \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right) বা, cos⁡x+sin⁡x=cos⁡2x+sin⁡2x\cos x+\sin x=\cos 2 x+\sin 2 x বা, cos⁡x−cos⁡2x=sin⁡2x−sin⁡x\cos x-\cos 2 x=\sin 2 x-\sin x বা, 2sin⁡2x+x2sin⁡2x−x2=2cos⁡2x+x2sin⁡2x−x22 \sin \frac{2 x+x}{2} \sin \frac{2 x-x}{2}=2 \cos \frac{2 x+x}{2} \sin \frac{2 x-x}{2} বা, sin⁡3x2sin⁡x2=cos⁡3x2sin⁡x2\sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=\cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2} [2 দ্বারা ভাগ করে] বা, sin⁡3x2sin⁡x2−cos⁡3x2sin⁡x2=0\sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}-\cos \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=0 বা, sin⁡x2(sin⁡3x2−cos⁡3x2)=0\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{3 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}\right)=0 হয়, sin⁡x2=0\sin \frac{x}{2}=0 বা, x2=nπ\frac{x}{2}=n \pi যেখানে, nn পূর্ণসংখ্যা ∴x=2nπ\therefore x=2 n \pi অথবা, sin⁡3x2−cos⁡3x2=0\sin \frac{3 x}{2}-\cos \frac{3 x}{2}=0 বা, sin⁡3x2=cos⁡3x2\sin \frac{3 x}{2}=\cos \frac{3 x}{2} বা, sin⁡3x2cos⁡3x2=1\frac{\sin \frac{3 x}{2}}{\cos \frac{3 x}{2}}=1 বা, tan⁡3x2=tan⁡π4\tan \frac{3 x}{2}=\tan \frac{\pi}{4} বা, 3x2=nπ+π4\frac{3 x}{2}=n \pi+\frac{\pi}{4}; যেখানে, nn পূর্ণসংখ্যা বা, x=2nπ3+2π12x=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{2 \pi}{12} =2nπ3+π6=(4n+1)π6=\frac{2 n \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=(4 n+1) \frac{\pi}{6} n=0n = 0হলে, x=0,π6x=0, \frac{\pi}{6} n=1n = 1হলে, x=2π,5π6x=2 \pi, \frac{5 \pi}{6} n=−1n = - 1হলে, x=−2π,−π2x=-2 \pi,-\frac{\pi}{2} n=2n = 2হলে, x=4π,3π2x=4 \pi, \frac{3 \pi}{2} 0≤x≤π0 \leq x \leq \pi ব্যবধিতে, x=0,π6,5π6\mathrm{x}=0, \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণSylhet
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন