Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [গণিত] বামপক্ষ = 3X [গণিত] = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপকঃ cos⁡−1α+cos⁡−1β=θ\cos^{-1} \alpha+\cos^{-1} \beta=\theta এবং f(x)=sin⁡x\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x}

ঢাকা কলেজ · 2024

উত্তর

A+B=A+B1−ABA+B=\frac{A+B}{1-A B} বামপক্ষ = 3X =X+X+X=X+X+X =(2X1−x2)+X=\left(\frac{2 X}{1-x^2}\right)+X =(2X1−x2+X1−X−2X1−x2)=\left(\frac{\frac{2 X}{1-x^2}+X}{1-\frac{X-2 X}{1-x^2}}\right) =(3x−x31−3x2)=\left(\frac{3 x-x^3}{1-3 x^2}\right) = ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

উত্তর

দেওয়া আছে, α+β=θ\alpha+\beta=\theta বা, xa+yβ=θ\frac{x}{a}+\frac{y}{\beta}=\theta বা, {xyab−(1−x2a2)(1−y2b2)}=θ\left\{\frac{x y}{a b}-\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)}\right\}=\theta বা, xyab−(1−x2a2)(1−y2b2)=cos⁡cos⁡θ\frac{x y}{a b}-\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)}=\cos \cos \theta বা, xyab−cos⁡θ=(1−x2a2)(1−y2b2)\frac{x y}{a b}-\cos \theta=\sqrt{\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1-\frac{y^2}{b^2}\right)} বা, (xyab−cos⁡θ)2=(1−x2a2)(1−y2b2)\left(\frac{x y}{a b}-\cos \theta\right)^2=\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)\left(1-\frac{y 2}{b 2}\right) বা, x2y2a2b2−2xyabcos⁡cos⁡θ+θ=1−x2y2−y2b2+x2y2a2b2\frac{x 2 y^2}{a^2 b^2}-\frac{2 x y}{a b} \cos \cos \theta+\theta=1-\frac{x^2}{y^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{x^2 y^2}{a^2 b^2} বা, x2a2+y2b2−2xyabcos⁡θ=1−cos⁡2θ\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2 x y}{a b} \cos \theta=1-\cos^2 \theta ∴x2a2+y2b2−2xyabcos⁡cos⁡θ=θ\therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{2 x y}{a b} \cos \cos \theta=\theta [প্রমাণিত]

উত্তর

\[\begin{aligned} & \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} \\ & \underline{\underline{\mathrm{f}}(\theta)+f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=f(2 \theta)+f\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)} \end{aligned}\] বা, sin⁡θ+sin⁡sin⁡(π2−θ)=sin⁡2θ+sin⁡sin⁡(π2−2θ)\sin \theta+\sin \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin 2 \theta+\sin \sin \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right) বা, sin⁡θ+cos⁡θ=sin⁡2θ+cos⁡2θ\sin \theta+\cos \theta=\sin 2 \theta+\cos 2 \theta বা, cos⁡θ−cos⁡2θ=sin⁡2θ−sin⁡θ\cos \theta-\cos 2 \theta=\sin 2 \theta-\sin \theta বা, 2sin⁡32θsin⁡12θ=2sin⁡12θcos⁡32θ2 \sin \frac{3}{2} \theta \sin \frac{1}{2} \theta=2 \sin \frac{1}{2} \theta \cos \frac{3}{2} \theta বা, 2sin⁡32θsin⁡12θ−2sin⁡12θcos⁡32θ=02 \sin \frac{3}{2} \theta \sin \frac{1}{2} \theta-2 \sin \frac{1}{2} \theta \cos \frac{3}{2} \theta=0 বা, sin⁡12θ(sin⁡32θ−cos⁡32θ)=0\sin \frac{1}{2} \theta\left(\sin \frac{3}{2} \theta-\cos \frac{3}{2} \theta\right)=0 হয়, sin⁡12θ=0\sin \frac{1}{2} \theta=0 \quad অর্থাৎ, 12θ=nπ\frac{1}{2} \theta=n \pi θ=2nπ,n∈Z\theta=2 n \pi, n \in \mathbb{Z} অথবা, sin⁡32θ−cos⁡32θ=0\sin \frac{3}{2} \theta-\cos \frac{3}{2} \theta=0 tan⁡32θ=1tan⁡32θ=tan⁡π432θ=nπ+π4θ=23(nπ+π4)\begin{aligned}\tan \frac{3}{2} \theta & =1 \tan^{\frac{3}{2}} \theta & =\tan \frac{\pi}{4} \frac{3}{2} \theta & =n \pi+\frac{\pi}{4} \theta & =\frac{2}{3}\left(n \pi+\frac{\pi}{4}\right)\end{aligned} n=0 হলে, θ=0,π6\mathrm{n}=0 \text{ হলে, } \theta=0, \frac{\pi}{6} অর্থাৎ, প্রদত্ত সীমার মধ্যে সমাধান হলো 0π50 \frac{\pi}{5} (Ans.)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণঢাকা কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন