Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর, [গণিত] .

উত্তর: বামপক্ষ, [গণিত] = ডানপক্ষ [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর, .

উদ্দীপক

g(θ)=sin⁡θg(\theta)=\sin \theta

আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, মতিঝিল · 2024

উত্তর

বামপক্ষ, =sin⁡2(cos⁡−113)−cos⁡2(sin⁡−113)=\sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right) =1−cos⁡2(cos⁡−113)−{1−sin⁡2(sin⁡−113)}=1-\cos^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)-\left\{1-\sin^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\} =1−(cos⁡−113)2−1+(sin⁡−1sin⁡−113)2=1-\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)^{2}-1+\left(\sin^{-1} \sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} =1−(13)2−13+(13)2=1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2} =−19+13=-\frac{1}{9}+\frac{1}{3} =29=\frac{2}{9} = ডানপক্ষ ∴sin⁡2(cos⁡−113)−cos⁡2(sin⁡−113)=29\therefore \sin^{2}\left(\cos^{-1} \frac{1}{3}\right)-\cos^{2}\left(\sin^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{9} (প্রমাণিত)

উত্তর

বামপক্ষ =sin⁡−1{2g(θ)+sin⁡−1g(π2−2θ)=\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} g(\theta)+\sin^{-1} \sqrt{g\left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)}\right. =sin⁡−1{2sin⁡θ}+sin⁡−1sin⁡(π2−2θ)=\sin^{-1}\{\sqrt{2} \sin \theta\}+\sin^{-1} \sqrt{\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 \theta\right)} =sin⁡−1{2sin⁡θ}+sin⁡−1cos⁡2θ=\sin^{-1}\{\sqrt{2} \sin \theta\}+\sin^{-1} \sqrt{\cos 2 \theta} =sin⁡−1{2sin⁡θ1−cos⁡22θ+cos⁡2θ⋅1−2sin⁡2θ}=\sin^{-1}\left\{\sqrt{2} \sin \theta \sqrt{1-\cos^{2} 2 \theta}+\sqrt{\cos 2 \theta} \cdot \sqrt{1-2 \sin^{2} \theta}\right\} =sin⁡−1{2sin⁡θ⋅2sin⁡θ+cos⁡2θ⋅cos⁡2θ}=\sin^{-1}\{\sqrt{2} \sin \theta \cdot \sqrt{2} \sin \theta+\cos 2 \theta \cdot \cos 2 \theta\} =sin⁡−1{2sin⁡2θ+cos⁡2θ}=\sin^{-1}\left\{2 \sin^{2} \theta+\cos 2 \theta\right\} =sin⁡−1{2sin⁡2θ+1−2sin⁡2θ}=\sin^{-1}\left\{2 \sin^{2} \theta+1-2 \sin^{2} \theta\right\} =sin⁡−1(1)=\sin^{-1}(1) =π2=\frac{\pi}{2} = ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

উত্তর

g(π2−θ)+g(π2−3θ)+g(π2−5θ)−g(3π2−7θ)=0g\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+g\left(\frac{\pi}{2}-3 \theta\right)+g\left(\frac{\pi}{2}-5 \theta\right)-g\left(\frac{3 \pi}{2}-7 \theta\right)=0 বা, sin⁡(π2−θ)+sin⁡(π2−3θ)+sin⁡(π5−5θ)−sin⁡(3π2−7θ)=0\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-3 \theta\right)+\sin \left(\frac{\pi}{5}-5 \theta\right)-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-7 \theta\right)=0 বা, cos⁡θ+cos⁡3θ+cos⁡5θ+cos⁡7θ=0\cos \theta+\cos 3 \theta+\cos 5 \theta+\cos 7 \theta=0 বা, (cos⁡7θ+cos⁡θ)+(cos⁡5θ+cos⁡3θ)=0(\cos 7 \theta+\cos \theta)+(\cos 5 \theta+\cos 3 \theta)=0 বা, 2cos⁡4θ⋅cos⁡3θ+2cos⁡4θ⋅cos⁡θ=02 \cos 4 \theta \cdot \cos 3 \theta+2 \cos 4 \theta \cdot \cos \theta=0 বা, 2cos⁡4θ(cos⁡3θ+cos⁡θ)=02 \cos 4 \theta(\cos 3 \theta+\cos \theta)=0 বা, 2cos⁡4θ⋅2cos⁡2θ⋅cos⁡θ=02 \cos 4 \theta \cdot 2 \cos 2 \theta \cdot \cos \theta=0 বা, cos⁡θ⋅cos⁡2θ⋅cos⁡4θ=0\cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 4 \theta=0 cos⁡θ=0\cos \theta=0 হলে, θ=(2n+1)π2\theta =(2 n+1) \frac{\pi}{2} cos⁡2θ=0\cos 2 \theta=0 হলে, 2θ=(2n+1)π2∴θ=(2n+1)π42 \theta =(2 n+1) \frac{\pi}{2} \quad \therefore \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{4} cos⁡4θ=0\cos 4 \theta=0 হলে, 4θ=(2n+1)π2∴θ=(2n+1)π84 \theta =(2 n+1) \frac{\pi}{2} \therefore \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8} ∴n=02\therefore n=02 হলে, θ=π2,π4,π8\theta =\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8} ∴n=1\therefore n=1 হলে, θ=3π2,3π4,3π8\theta =\frac{3 \pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{8} ∴n=2\therefore n=2 হলে, θ=5π2,5π4,5π8\theta =\frac{5 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{8} ∴n=3\therefore n=3 হলে, θ=7π2,7π4,7π8\theta =\frac{7 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{8} সুতরাং, 0<θ<π0<\theta<\pi এর মধ্যে নির্ণেয় মান : π2,π4,π8,3π4,3π8,5π8,7π8\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণআইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ, মতিঝিল
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন