Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡−1p+sin⁡−1q+sin⁡−1rA=cos⁡x−cos⁡2xR=1−cos⁡x\begin{aligned} & f(x)=\sin^{-1} p+\sin^{-1} q+\sin^{-1} r \\ & A=\cos x-\cos 2 x \\ & R=1-\cos x\end{aligned}

Rajshahi · 2023

উত্তর

L.H.S=tan⁡−113L.H.S =\tan^{-1} \frac{1}{3} =12⋅2tan⁡−113=\frac{1}{2} \cdot 2 \tan^{-1} \frac{1}{3} =12sin⁡−12⋅131+(13)2=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}} =12sin⁡−1231+19=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}} =12sin⁡−12/3109=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{2 / 3}{\frac{10}{9}} =12sin⁡−1(23×910)=\frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{2}{3} \times \frac{9}{10}\right) =12sin⁡−135=\frac{1}{2} \sin^{-1} \frac{3}{5} =R⋅H⋅S=R \cdot H \cdot S (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=π\mathrm{f}(\mathrm{x})=\pi ⇒sin⁡−1p+sin⁡−1q+sin⁡−1r=π\Rightarrow \sin^{-1} \mathrm{p}+\sin^{-1} \mathrm{q}+\sin^{-1} \mathrm{r}=\pi  N. ,sin⁡−1p=A,sin⁡−1q=B,sin⁡−1r=C\text{ N. }, \sin^{-1} \mathrm{p}=\mathrm{A}, \sin^{-1} \mathrm{q}=\mathrm{B}, \sin^{-1} \mathrm{r}=\mathrm{C} ∴ L.H.S =p1−p2+q1−q2+r1−r2\therefore \text{ L.H.S }= \mathrm{p} \sqrt{1-\mathrm{p}^{2}}+\mathrm{q} \sqrt{1-\mathrm{q}^{2}}+\mathrm{r} \sqrt{1-\mathrm{r}^{2}} =sin⁡A1−sin⁡2 A+sin⁡B1−sin⁡2 B+sin⁡C1−sin⁡2C= \sin \mathrm{A} \sqrt{1-\sin^{2} \mathrm{~A}}+\sin \mathrm{B} \sqrt{1-\sin^{2} \mathrm{~B}}+\sin \mathrm{C} \sqrt{1-\sin^{2} \mathrm{C}} =sin⁡Acos⁡A+sin⁡Bcos⁡B+sin⁡Ccos⁡C= \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}+\sin \mathrm{B} \cos \mathrm{B}+\sin \mathrm{C} \cos \mathrm{C} =12(2sin⁡Acos⁡A+2sin⁡Bcos⁡B+2sin⁡Ccos⁡C)= \frac{1}{2}(2 \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}+2 \sin \mathrm{B} \cos \mathrm{B}+2 \sin \mathrm{C} \cos \mathrm{C}) =12(sin⁡2 A+sin⁡2 B+sin⁡2C)= \frac{1}{2}(\sin 2 \mathrm{~A}+\sin 2 \mathrm{~B}+\sin 2 \mathrm{C}) =12(2sin⁡2 A+2 B2cos⁡2 A−2O2+sin⁡2C)= \frac{1}{2}\left(2 \sin \frac{2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}}{2} \cos \frac{2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{O}}{2}+\sin 2 \mathrm{C}\right) =12{2sin⁡(A+B)cos⁡(A−B)+sin⁡2C}= \frac{1}{2}\{2 \sin (\mathrm{A}+\mathrm{B}) \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\sin 2 \mathrm{C}\} =12{2sin⁡(π−C)cos⁡(A−B)+sin⁡2C}= \frac{1}{2}\{2 \sin (\pi-\mathrm{C}) \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\sin 2 \mathrm{C}\} =12{2sin⁡Ccos⁡(A−B)+2sin⁡Ccos⁡C}= \frac{1}{2}\{2 \sin \mathrm{C} \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+2 \sin \mathrm{C} \cos \mathrm{C}\} =12⋅2sin⁡C{cos⁡(A−B)+cos⁡C}= \frac{1}{2} \cdot 2 \sin \mathrm{C}\{\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\cos \mathrm{C}\} =sin⁡C[cos⁡(A−B)+cos⁡{π−(A+B)}= \sin \mathrm{C}[\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\cos \{\pi-(\mathrm{A}+\mathrm{B})\} =sin⁡C[cos⁡(A−B)−cos⁡(A+B)]= \sin \mathrm{C}[\cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})-\cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})] =2sin⁡sin⁡C⋅2sin⁡Asin⁡B=2 \sin \sin C \cdot 2 \sin A \sin B =2sin⁡A⋅sin⁡B⋅sin⁡C=2 \sin A \cdot \sin B \cdot \sin C =2pqr=2 p q r =R⋅H⋅S=R \cdot H \cdot S (দেখানো হলো)

উত্তর

দেওয়া আছে, A=cos⁡x−cos⁡2xA=\cos x-\cos 2 x R=1−cos⁡xR =1-\cos x ∴AR=1\therefore \frac{A}{R}=1 যখন 0<x<π0<x<\pi ⇒cos⁡x−cos⁡2x1−cos⁡x=1\Rightarrow \frac{\cos x-\cos 2 x}{1-\cos x}=1 ⇒2sin⁡3x2⋅sin⁡x2=1−cos⁡x\Rightarrow 2 \sin \frac{3 x}{2} \cdot \sin \frac{x}{2}=1-\cos x ⇒2sin⁡3x2sin⁡x2=2sin⁡2x2\Rightarrow 2 \sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}=2 \sin^{2} \frac{x}{2} ⇒2sin⁡3x2sin⁡x2−2sin⁡2x2=0\Rightarrow 2 \sin \frac{3 x}{2} \sin \frac{x}{2}-2 \sin^{2} \frac{x}{2}=0 ⇒2sin⁡x2(sin⁡3x2−sin⁡x2)=0\Rightarrow 2 \sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{3 x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)=0 ∴sin⁡x2≡0\therefore \sin \frac{x}{2} \equiv 0 ⇒x2≡xπ\Rightarrow \frac{x}{2} \equiv x \pi ⇒x=2nπ,x∈Z\Rightarrow x=2 n \pi, x \in \mathbb{Z} ∴cos⁡x=0\therefore \cos x=0 ⇒x=(2n+1)π2,n∈Z\Rightarrow x=(2 n+1) \frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z} অথবা, sin⁡3x2−sin⁡x2=0\sin \frac{3 x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0 ⇒2cos⁡xsin⁡x2=0\Rightarrow 2 \cos x \sin \frac{x}{2}=0 অথবা, sin⁡x2=0\sin \frac{x}{2}=0 ⇒x2=nπ\Rightarrow \frac{x}{2}=n \pi ∴x=2nπ,n∈Z\therefore x=2 n \pi, n \in \mathbb{Z} ∴n=0\therefore n=0 হলে, x=0,x=π2x=0, x=\frac{\pi}{2} ∴\therefore প্রদত্ত সীমার মধ্যে x\mathrm{x} এর মান : x=π2x=\frac{\pi}{2}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণRajshahi
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন