Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: [চিত্র] আমরা জানি, [গণিত]

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

উদ্দীপক-১: cos⁡x=pa,cos⁡y=qb\cos x=\frac{p}{a}, \cos y=\frac{q}{b} উদ্দীপক-২ : f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta

Dhaka · 2023

উত্তর

question image আমরা জানি, tan⁡−125+cot⁡−125=π2\tan^{-1} \frac{2}{5}+\cot^{-1} \frac{2}{5}=\frac{\pi}{2} ⇒tan⁡−125=π2−cot⁡−125\Rightarrow \tan^{-1} \frac{2}{5}=\frac{\pi}{2}-\cot^{-1} \frac{2}{5} ∴tan⁡−125=π2−cosec⁡⁡295\therefore \tan^{-1} \frac{2}{5}=\frac{\pi}{2}-\operatorname{\cosec} \frac{\sqrt{29}}{5}

উত্তর

উদ্দীপক-১ হতে, cos⁡x=pa,cos⁡y=qb\cos x=\frac{p}{a}, \cos y=\frac{q}{b} ⇒x=cos⁡−1pa\Rightarrow x=\cos^{-1} \frac{p}{a} ⇒y=cos⁡−1qb\Rightarrow y=\cos^{-1} \frac{q}{b} প্রশ্নমতে, x+y=αx+y=\alpha ⇒cos⁡−1pa+cos⁡−1qb=α\Rightarrow \cos^{-1} \frac{p}{a}+\cos^{-1} \frac{q}{b}=\alpha ⇒cos⁡−1[pa⋅qb−{1−(pa)2}{1−(qb)2}=α\Rightarrow \cos^{-1}\left[\frac{p}{a} \cdot \frac{q}{b}-\sqrt{\left\{1-\left(\frac{p}{a}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left(\frac{q}{b}\right)^{2}\right\}}=\alpha\right. ⇒pa⋅qb−(1−p2a2)(1−q2b2)=cos⁡α\Rightarrow \frac{p}{a} \cdot \frac{q}{b}-\sqrt{\left(1-\frac{p^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{q^{2}}{b^{2}}\right)}=\cos \alpha ⇒(1−p2a2)(1−q2b2)=pqab−cos⁡α\Rightarrow \sqrt{\left(1-\frac{p^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{q^{2}}{b^{2}}\right)}=\frac{p q}{a^{b}}-\cos \alpha ⇒(1−p2a2)(1−q2b2)=p2q2a2b2−2pqabcos⁡α+cos⁡2α\Rightarrow\left(1-\frac{p^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{q^{2}}{b^{2}}\right)=\frac{p^{2} q^{2}}{a^{2} b^{2}}-2 \frac{p q}{a b} \cos \alpha+\cos^{2} \alpha ⇒1−p2a2−q2b2+p2q2a2b2=p2q2a2b2−2pqabcos⁡2α+cos⁡2α\Rightarrow 1-\frac{p^{2}}{a^{2}}-\frac{q^{2}}{b^{2}}+\frac{p^{2} q^{2}}{a^{2} b^{2}}=\frac{p^{2} q^{2}}{a^{2} b^{2}}-2 \frac{p q}{a b} \cos^{2} \alpha+\cos^{2} \alpha ⇒p2a2+q2b2−2pqabcos⁡α=12−cos⁡2α=sin⁡2α\Rightarrow \frac{p^{2}}{a^{2}}+\frac{q^{2}}{b^{2}}-2 \frac{p q}{a^{b}} \cos \alpha=1^{2}-\cos^{2} \alpha=\sin^{2} \alpha ⇒b2p2−2abpqcos⁡α+a2q2=a2b2sin⁡2α\Rightarrow b^{2} p^{2}-2 a b p q \cos \alpha+a^{2} q^{2}=a^{2} b^{2} \sin^{2} \alpha (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক-২ হতে, f(θ)=sin⁡θf(\theta)=\sin \theta ∴f(x)=sin⁡x\therefore f(x)=\sin x ∴f(x)−1−{f(x)}2=1\therefore f(x)-\sqrt{1-\{f(x)\}^{2}}=1 ⇒sin⁡x−1−sin⁡2x=1\Rightarrow \sin x-\sqrt{1-\sin^{2} x}=1 ⇒sin⁡x−cos⁡x=1\Rightarrow \sin x-\cos x=1 ⇒12sin⁡x−12cos⁡x=12\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x-\frac{1}{\sqrt{2}} \cos x=\frac{1}{\sqrt{2}} ⇒sin⁡xcos⁡π4−cos⁡xsin⁡π4=12\Rightarrow \sin x \cos \frac{\pi}{4}-\cos x \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}} [12+12\sqrt{1^{2}+1^{2}} =2=\sqrt{2} দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে ] ⇒sin⁡(x−π4)=sin⁡π4\Rightarrow \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{4} ⇒x−π4=nπ+(−1)nπ4\Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{4} ∴x=nπ+(−1)nπ4+π4,n∈Z\therefore x=n \pi+(-1)^{n} \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}, n \in \mathbb{Z} ∴n=0\therefore \mathrm{n}=0 হলে, x=π2\quad \mathrm{x}=\frac{\pi}{2} ∴x=1\therefore \mathrm{x}=1 হলে, x=π−π4+π4=π\quad \mathrm{x}=\pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=\pi x=−1x=-1 হলে, x=−π−π4+π4=−πx=-\pi-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\pi x=−2x=-2 হলে, x=−2π+π4+π4=−3π2x=-2 \pi+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=-\frac{3 \pi}{2} প্রদত্ত সমীর মাঝে xx এর মান সমূহ : π2,±π,−3π2\frac{\pi}{2}, \pm \pi,-\frac{3 \pi}{2}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণDhaka
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন