Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত]

উত্তর: ধরি, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] আবার, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] বা, [গণিত] অতএব, [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে,

উদ্দীপক

f(x)=sin⁡xf(x)=\sin x question image

নটরডেম কলেজ · 2024

উত্তর

ধরি, y=cos⁡−1xy=\cos^{-1} x বা, x=cos⁡yx=\cos y বা, 1+x=1+cos⁡y1+x=1+\cos y বা, 1+x=2cos⁡2y21+x=2 \cos^{2} \frac{y}{2} বা, 1+x2=cos⁡2y2\frac{1+x}{2}=\cos^{2} \frac{y}{2} বা, cos⁡y2=1+x2\cos \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1+x}{2}} বা, y2=cos⁡−11+x2\frac{y}{2}=\cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} বা, y=2cos⁡−11+x2y=2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} ∴cos⁡−1x=2cos⁡−11+x2\therefore \cos^{-1} x=2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} আবার, x=cos⁡yx=\cos y বা, x−1=cos⁡y−1x-1=\cos y-1 বা, 1−x=1−cos⁡y1-x=1-\cos y বা, 1−x=2sin⁡2y21-x=2 \sin^{2} \frac{y}{2} \quad বা, sin⁡2y2=1−x2\sin^{2} \frac{y}{2}=\frac{1-x}{2} বা, sin⁡y2=1−x2\sin \frac{y}{2}=\sqrt{\frac{1-x}{2}} বা, y2=sin⁡−11−x2\frac{y}{2}=\sin^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{2}} বা, y=2sin⁡−11−x2∴cos⁡−1x=2sin⁡−11−x2y=2 \sin^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{2}} \therefore \cos^{-1} x=2 \sin^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{2}} অতএব, cos⁡−1x=2sin⁡−11−x2=2cos⁡−11+x2\cos^{-1} x=2 \sin^{-1} \sqrt{\frac{1-x}{2}}=2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

question image △ABM\triangle \mathrm{ABM} হতে, tan⁡A=43\tan \mathrm{A}=\frac{4}{3} ∴A=tan⁡−143\therefore \mathrm{A}=\tan^{-1} \frac{4}{3} tan⁡B=34\tan B=\frac{3}{4} ∴B=tan⁡−134\therefore B=\tan^{-1} \frac{3}{4} question image △CDN\triangle \mathrm{CDN}হতে, tanC⁡=13\operatorname{tanC}=\frac{1}{3} ∴C=tan⁡−113\therefore \mathrm{C}=\tan^{-1} \frac{1}{3} প্রদত্ত রাশি =12(2 A−2C−B)=A−C−12×B=\frac{1}{2}(2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{C}-\mathrm{B})=\mathrm{A}-\mathrm{C}-\frac{1}{2} \times \mathrm{B} =tan⁡−143−tan⁡−113−12tan⁡−134=\tan^{-1} \frac{4}{3}-\tan^{-1} \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4} =tan⁡−143−12⋅2tan⁡−113−12tan⁡−134=\tan^{-1} \frac{4}{3}-\frac{1}{2} \cdot 2 \tan^{-1} \frac{1}{3}-\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4} =tan⁡−143−12⋅tan⁡−1⋅231−(13)2−12tan⁡−134=\tan^{-1} \frac{4}{3}-\frac{1}{2} \cdot \tan^{-1} \cdot \frac{\frac{2}{3}}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}-\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4} =tan⁡−143−12tan⁡−1(23÷89)−12tan⁡−134=\tan^{-1} \frac{4}{3}-\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{2}{3} \div \frac{8}{9}\right)-\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4} =tan⁡−143−12tan⁡−134−12tan⁡−134=tan⁡−143−tan⁡−134=\tan^{-1} \frac{4}{3}-\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4}-\frac{1}{2} \tan^{-1} \frac{3}{4}=\tan^{-1} \frac{4}{3}-\tan^{-1} \frac{3}{4} =tan⁡−1⋅43−341+43⋅34=tan⁡−1⋅16−9122=tan⁡−1724=\tan^{-1} \cdot \frac{\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}{1+\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4}}=\tan^{-1} \cdot \frac{\frac{16-9}{12}}{2}=\tan^{-1} \frac{7}{24} ∴\therefore নিণেয় মান =tan⁡−1724=\tan^{-1} \frac{7}{24} (Ans.)

উত্তর

দেওয়া আছে, P=cos⁡−1(x3)\mathrm{P}=\cos^{-1}\left(\frac{\mathrm{x}}{3}\right) এবং Q=cos⁡−1(y2)\mathrm{Q}=\cos^{-1}\left(\frac{\mathrm{y}}{2}\right) প্রশ্নমতে, P+Q=θP+Q=\theta বা, cos⁡−1(x3)+cos⁡−1(y2)=θ\cos^{-1}\left(\frac{x}{3}\right)+\cos^{-1}\left(\frac{y}{2}\right)=\theta বা, cos⁡−1{xy3.2−(1−x232)(1−y222)}=θ\cos^{-1}\left\{\frac{x y}{3.2}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{2^{2}}\right)}\right\}=\theta বা, xy6−(1−x29)(1−y24)=cos⁡θ\frac{x y}{6}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{4}\right)}=\cos \theta বা, xy6−cos⁡θ=(1−x29)(1−y24)\frac{x y}{6}-\cos \theta=\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{4}\right)} বা, x2y236+cos⁡2θ−2⋅xy6⋅cos⁡θ=(1−x29)(1−y24)\frac{x^{2} y^{2}}{36}+\cos^{2} \theta-2 \cdot \frac{x y}{6} \cdot \cos \theta=\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{4}\right) বা, x2y236+cos⁡2θ−xy3cos⁡θ=1−x29−y24+x2y236\frac{x^{2} y^{2}}{36}+\cos^{2} \theta-\frac{x y}{3} \cos \theta=1-\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}+\frac{x^{2} y^{2}}{36} বা, x29+y24−xy3cos⁡θ=1−cos⁡2θ\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}-\frac{x y}{3} \cos \theta=1-\cos^{2} \theta বা, 4x2+9y2−12xycos⁡θ36=sin⁡2θ\frac{4 x^{2}+9 y^{2}-12 x y \cos \theta}{36}=\sin^{2} \theta ∴4x2−12xycos⁡θ+9y2=36sin⁡2θ\therefore 4 x^{2}-12 x y \cos \theta+9 y^{2}=36 \sin^{2} \theta (প্রমাণিত)
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণনটরডেম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন