Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

উদ্দীপক (i) এর আলোকে প্রমাণ কর যে, [গণিত] यथन [গণিত]

উত্তর: উদ্দীপক (i) হতে পাই, [চিত্র] [গণিত] হতে পাই, এবং [গণিত] হতে পাই, [গণিত] দেওয়া আছে, [গণিত] [বর্গ করে] [গণিত] (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

উদ্দীপক (i) এর আলোকে প্রমাণ কর যে, यथन

উদ্দীপক

(i) question image ii) g(x)=2tan⁡x21+tan⁡2x2,f(x)=1−cos⁡2x21+cos⁡2x2g(x)=\frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}, f(x)=\frac{1-\cos^2 \frac{x}{2}}{1+\cos^2 \frac{x}{2}}

চট্টগ্রাম কলেজ · 2024

উত্তর

L.H.S =cot⁡−116+cot⁡−157=\cot^{-1} \frac{1}{6}+\cot^{-1} \frac{5}{7} =cotan⁡−16+tan⁡−175=\operatorname{cotan}^{-1} 6+\tan^{-1} \frac{7}{5} =tan⁡−1(6+7/51−6⋅7/5)=\tan^{-1}\left(\frac{6+7 / 5}{1-6 \cdot 7 / 5}\right) =tan⁡−1(30+75−42)=\tan^{-1}\left(\frac{30+7}{5-42}\right) =tan⁡−1(37−37)=\tan^{-1}\left(\frac{37}{-37}\right) =tan⁡−1(−1)=\tan^{-1}(-1) =3π/4 R.H.S =3 \pi / 4 \text{ R.H.S } (দেখানো হলো)

উত্তর

উদ্দীপক (i) হতে পাই, question image △ABC\triangle A B C হতে পাই, এবং △DEF\triangle D E F হতে পাই, cos⁡α=xacos⁡β=yb\cos \alpha=\frac{x}{a} \cos \beta=\frac{y}{b} ∴α=cos⁡−1(xa)∴β=cos⁡−1(yb)\therefore \alpha=\cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) \therefore \beta=\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right) দেওয়া আছে, α+β=θ\alpha+\beta=\theta ⇒cos⁡−1(xa)+cos⁡−1(yb)=0\Rightarrow \cos^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+\cos^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=0 ⇒cos⁡−1{xa⋅yb−{x1−(xa)2}{1−(yb)2}=θ\Rightarrow \cos^{-1}\left\{\frac{x}{a} \cdot \frac{y}{b}-\sqrt{\left\{\frac{x}{\left.1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}\right\}\left\{1-\left(\frac{y}{b}\right)^{2}\right.}\right\}}=\theta\right. ⇒xyab−(1−x2a2)(1−y2b2)=cos⁡θ\Rightarrow \frac{x y}{a b}-\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)}=\cos \theta ⇒xyab−cos⁡θ=(1−x2a2)(1−y2b2)\Rightarrow \frac{x y}{a b}-\cos \theta=\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)} ⇒(xyab−cos⁡θ)2={(1−x2a2)(1−y2b2)}2\Rightarrow\left(\frac{x y}{a b}-\cos \theta\right)^{2}=\left\{\sqrt{\left(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\right)\left(1-\frac{y^{2}}{b^{2}}\right)}\right\}^{2} [বর্গ করে] ⇒x2y2a2b2−2xycos⁡θab+cos⁡2θ=1−x2y2a2b2−x2a2−y2b2\Rightarrow \frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+\cos^{2} \theta =1-\frac{x^{2} y^{2}}{a^{2} b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} ⇒−2xycos⁡θab+cos⁡2θ−1=−x2a2−y2b2\Rightarrow-\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+\cos^{2} \theta-1=-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} ⇒−(2xycos⁡θab+1−cos⁡2θ)=−(x2a2+y2b2)\Rightarrow-\left(\frac{2 x y \cos \theta}{a b}+1-\cos^{2} \theta\right)=-\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\right) ∴sin⁡2θ+2xycos⁡θab=x2a2+y2b2\therefore \sin^{2} \theta+\frac{2 x y \cos \theta}{a b}=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} (প্রমাণিত)

উত্তর

উদ্দীপক (ii) অনুসারে পাই, g(x)=2tan⁡x/21+tan⁡2x/2g(x)=\frac{2 \tan x / 2}{1+\tan^2 x / 2} ∴g(x)=sin⁡x\therefore g(x)=\sin x এবং, f(x)=1−tan⁡2x21+tan⁡2x/2f(x)=\frac{1-\tan^2 \frac{x}{2}}{1+\tan^2 x / 2} ∴f(x)=cos⁡x\therefore f(x)=\cos x 4g(π/2−θ)f(2θ)+f(3θ)−1=04 g(\pi / 2-\theta) f(2 \theta)+f(3 \theta)-1=0 ⇒4sin⁡(π/2−θ)cos⁡2θcos⁡3θθ−1=0\Rightarrow 4 \sin (\pi / 2-\theta) \cos 2 \theta \cos 3 \theta \theta-1=0 ⇒4cos⁡θcos⁡2θcos⁡3θ−1=0\Rightarrow 4 \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta-1=0 = 2cos⁡2θ(2cos⁡3θcos⁡θ)θ−1=02 \cos 2 \theta(2 \cos 3 \theta \cos \theta) \theta-1=0 = 2cos⁡2θ(cos⁡4θ+cos⁡2θ)−1=02 \cos 2 \theta(\cos 4 \theta+\cos 2 \theta)-1=0 = 2cos⁡4θcos⁡2θ+2cos⁡22θ−1=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+2 \cos^{2} 2 \theta-1=0 = 2cos⁡4θcos⁡2θ+cos⁡4θ=02 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+\cos 4 \theta=0 ⇒cos⁡4θ(2cos⁡2θ+1)=0\Rightarrow \cos 4 \theta(2 \cos 2 \theta+1)=0 হয়, cos⁡4θ=0\cos 4 \theta=0 ⇒uθ=(2n+1)π/2,n∈Z\Rightarrow u \theta=(2 n+1) \pi / 2, n \in \mathbb{Z} ∴θ=(2n+1)π8,n∈Z\therefore \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8}, n \in \mathbb{Z} আবার, 2cos⁡2θ+1=02 \cos 2 \theta+1=0 ⇒cos⁡2θ=−1/2\Rightarrow \cos 2 \theta=-1 / 2 ⇒cos⁡2θ=cos⁡2π3\Rightarrow \cos 2 \theta=\cos \frac{2 \pi}{3} ⇒2θ=2nπ±2π3.\Rightarrow 2 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} . ∴θ=nπ±π3;n∈Z\therefore \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3} ; n \in \mathbb{Z} ∴n=0\therefore n=0 হলে, θ=π/8,−π/3,π/3\quad \theta=\pi / 8,-\pi / 3, \pi / 3 n=−1n=-1 হলে, θ=−π/8,−2π3\quad \theta=-\pi / 8,-\frac{2 \pi}{3} n=−2n=-2 হলে, θ=−3π/8\quad \theta=-3 \pi / 8 n=−3n=-3 হলে, θ=−5x/8\quad \theta=-5 x / 8 n=−4n=-4 হলে, θ=−7π/8\quad \theta=-7 \pi / 8 n=1n=1 হলে, θ=3π8,2π3\quad \theta=\frac{3 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3} n=2n=2 হলে, θ=5π8\quad \theta=\frac{5 \pi}{8} n=3n=3 হলে, θ=7π8\quad \theta=\frac{7 \pi}{8} ∴\therefore নির্ণেয় সমাধান: −7π8,−5π8,−3π8,−π3,−π8−2π/3,π8,π/3,3π8,5π8,2π3,7π8-\frac{7 \pi}{8}, \frac{-5 \pi}{8},-\frac{3 \pi}{8},-\frac{\pi}{3},\frac{-\pi}{8}-2 \pi / 3, \frac{\pi}{8}, \pi / 3, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণচট্টগ্রাম কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন