Prosthuti Logo
শেয়ারFacebookWhatsApp

প্রমাণ কর যে, [গণিত] .

উত্তর: দেওয়া আছে, [গণিত] বামপক্ষ [গণিত] ডানপক্ষ [গণিত] ( [গণিত] ). (প্রমাণিত)

HSC Higher Math 2nd Paper Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ CQ — Prosthuti প্রশ্নব্যাংক

HSC · Higher Math 2nd Paper · Chapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ · সৃজনশীল

প্রমাণ কর যে, .

উদ্দীপক

f(x)=tan⁡xf(x)=\tan x

রাজশাহী কলেজ · 2025

উত্তর

বামপক্ষ =cosec⁡⁡2(tan⁡−112)−3sec⁡2(cot⁡−13)=\operatorname{\cosec}^2\left(\tan^{-1} \frac{1}{2}\right)-3 \sec^2\left(\cot^{-1} \sqrt{3}\right) =cosec⁡⁡2(cot⁡−12)−3sec⁡2(tan⁡−113)=1+cot⁡2(cot⁡−12)−3{1+tan⁡2(tan⁡−113)}=1+(cot⁡cot⁡−12)2−3{1+(tan⁡tan⁡−113)2}=1+22−3{1+(13)2}=5−3(1+13)\begin{aligned} & =\operatorname{\cosec}^2\left(\cot^{-1} 2\right)-3 \sec^2\left(\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \\ & =1+\cot^2\left(\cot^{-1} 2\right)-3\left\{1+\tan^2\left(\tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\} \\ & =1+\left(\cot \cot^{-1} 2\right)^2-3\left\{1+\left(\tan \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right\} \\ & =1+2^2-3\left\{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2\right\} \\ & =5-3\left(1+\frac{1}{3}\right)\end{aligned} =5−3−1=1==5-3-1=1= ডানপক্ষ ∴cosec⁡⁡2(tan⁡−112)−3sec⁡2(cot⁡−13)=1\therefore \quad \operatorname{\cosec}^2\left(\tan^{-1} \frac{1}{2}\right)-3 \sec^2\left(\cot^{-1} \sqrt{3}\right)=1. (প্রমাণিত)

উত্তর

দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} বামপক্ষ =tan⁡−1{(1+2)f(α)}+tan⁡−1{(1−2)−f(α)}=\tan^{-1}\{(1+\sqrt{2}) f(\alpha)\}+\tan^{-1}\{(1-\sqrt{2})-f(\alpha)\} \begin{aligned} & =\tan^{-1}\{(1+\sqrt{2}) \tan \alpha\}+\tan^{-1}\{(1-\sqrt{2}) \tan \alpha\} \\ & =\tan^{-1} \frac{(1+\sqrt{2}) \tan \alpha+(1-\sqrt{2}) \tan \alpha}{1-(1+\sqrt{2}) \tan \alpha \times(1-\sqrt{2}) \tan \alpha} \\ & =\tan^{-1} \frac{(1+\sqrt{2}+1-\sqrt{2}) \tan \alpha}{1-\left\{1^2-(\sqrt{2})^2\right\} \tan^2 \alpha}=\tan^{-1} \frac{2 \tan \alpha}{1-(1-2} \tan^2 \alpha}\end{aligned} =tan⁡−12tan⁡α1+tan⁡2α=tan⁡−1(sin⁡2α)==\tan^{-1} \frac{2 \tan \alpha}{1+\tan^2 \alpha}=\tan^{-1}(\sin 2 \alpha)= ডানপক্ষ ∴tan⁡−1{(1+2)f(α)}+tan⁡−1{(1−2)f(α)}=tan⁡−1\therefore \tan^{-1}\{(1+\sqrt{2}) f(\alpha)\}+\tan^{-1}\{(1-\sqrt{2}) f(\alpha)\}=\tan^{-1} ( sin⁡2α\sin 2 \alpha ). (প্রমাণিত)

উত্তর

গ দেওয়া আছে, f(x)=tan⁡xf(\mathrm{x})=\tan \mathrm{x} ∴f(2x)=tan⁡2x\therefore \quad f(2 x)=\tan 2 x এবং f(3x)=tan⁡3xf(3 x)=\tan 3 x এখানে, f(x)+f(2x)+f(3x)=0f(\mathrm{x})+f(2 \mathrm{x})+f(3 \mathrm{x})=0 ~ বা, tan⁡x+tan⁡2x+tan⁡3x=0\tan x+\tan 2 x+\tan 3 x=0 বা, tan⁡x+tan⁡2x+tan⁡(x+2x)=0\tan x+\tan 2 x+\tan (x+2 x)=0 বা, tan⁡x+tan⁡2x+tan⁡x+tan⁡2x1−tan⁡xtan⁡2x=0\tan x+\tan 2 x+\frac{\tan x+\tan 2 x}{1-\tan x \tan 2 x}=0 বা, (tan⁡x+tan⁡2x)(1+11−tan⁡xtan⁡2x)=0(\tan x+\tan 2 x)\left(1+\frac{1}{1-\tan x \tan 2 x}\right)=0 বা, (tan⁡x+tan⁡2x)(1−tan⁡xtan⁡2x+11−tan⁡xtan⁡2x)=0(\tan x+\tan 2 x)\left(\frac{1-\tan x \tan 2 x+1}{1-\tan x \tan 2 x}\right)=0 বা, (tan⁡x+tan⁡2x1−tan⁡xtan⁡2x)(2−tan⁡xtan⁡2x)=0\left(\frac{\tan x+\tan 2 x}{1-\tan x \tan 2 x}\right)(2-\tan x \tan 2 x)=0 বা, tan⁡(x+2x)(2−tan⁡xtan⁡2x)=0\tan (x+2 x)(2-\tan x \tan 2 x)=0 বা, tan⁡3x(2−tan⁡xtan⁡2x)=0\tan 3 x(2-\tan x \tan 2 x)=0 হয়, tan⁡3x=0\tan 3 x=0 বা, 3x=nπ3 x=n \pi; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=nπ3\therefore \quad x=\frac{n \pi}{3} অথবা, 2−tan⁡xtan⁡2x=02-\tan x \tan 2 x=0 বা, 2−tan⁡x2tan⁡x1−tan⁡2x=02-\tan x \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x}=0 বা, 2−2tan⁡2x−2tan⁡2x=02-2 \tan^2 x-2 \tan^2 x=0 বা, 4tan⁡2x=24 \tan^2 x=2 বা, 2tan⁡2x=12 \tan^2 x=1 বা, tan⁡x=±12=tan⁡α[\tan x= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\tan \alpha\left[\right. যেখানে tan⁡α=±12]\left.\tan \alpha= \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right] বা, x=nπ+αx=n \pi+\alpha; যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z} ∴x=nπ±tan⁡−112\therefore \quad \mathrm{x}=\mathrm{n} \pi \pm \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} নির্ণেয় সমাধান: x=n3π3,nπ±tan⁡−112x=\frac{n}{3} \frac{\pi}{3}, n \pi \pm \tan^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}}, যেখানে n∈Zn \in \mathbb{Z}.
HSCHigher Math 2nd PaperChapter 7: বিপরীত ত্রিকোনমিতিক ফাংশন ও ত্রিকোণমিতিক সমীকরণরাজশাহী কলেজ
12টি সম্পর্কিত প্রশ্ন — উত্তর ও ব্যাখ্যা লকড

1.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=1k=1 এবং π4<θ<2π\frac{\pi}{4}<\theta<2 \pi হলে θ\theta এর মান কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    3π2\frac{3 \pi}{2}
  • খ
    5π4\frac{5 \pi}{4}
  • গ
    3π4\frac{3 \pi}{4}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

2.নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : cot⁡θ=k\cot \theta=\mathbf{k} সমীকরণটির সমাধান θ=nπ+α\theta=n \pi+\alpha k=13k=\frac{1}{\sqrt{3}} হলে α=\alpha= কত?

Dhaka · 2017

  • ক
    π6\frac{\pi}{6}
  • খ
    π4\frac{\pi}{4}
  • গ
    π3\frac{\pi}{3}
  • ঘ
    π2\frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

3.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— x=3331x=\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{31}} হলে y-এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    tan⁡−153−7\tan^{-1} \frac{5 \sqrt{3}}{-7}
  • খ
    tan⁡−1113\tan^{-1} \frac{11}{\sqrt{3}}
  • গ
    tan⁡−1−311\tan^{-1} \frac{-\sqrt{3}}{11}
  • ঘ
    tan⁡−1753\tan^{-1} \frac{7}{5 \sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

4.নিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : y=sin⁡−1⋅32+cos⁡−1xy=\sin^{-1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\cos^{-1} x সমীকরণে— y=90∘y=90^{\circ} হলে x এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    12\frac{1}{2}
  • খ
    12\frac{1}{\sqrt{2}}
  • গ
    32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • ঘ
    23\frac{2}{\sqrt{3}}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

5.sin⁡θ=12\sin \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} হলে- i. θ\theta এর মূখ্যমান π4\frac{\pi}{4} ii. θ={4n+(−1)n}π4,∀n∈Z\theta=\left\{4 n+(-1)^{n}\right\} \frac{\pi}{4}, \forall n \in \mathbb{Z} iii. θ={4n+1}π2\theta=\{4 n+1\} \frac{\pi}{2} যখন n∈Zn \in \mathbb{Z} নিচের কোনটি সঠিক ?

Comilla · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

6.f(x)=tan⁡−1xf(x)=\tan^{-1} x হলে -  i. f(1)=π4. \text{ i. } f(1)=\frac{\pi}{4} \text{. }  ii. f(12)+f(13)=π4\text{ ii. } f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4}  iii. f(2x)=cos⁡−11−x21+x2\text{ iii. } f(2 \mathrm{x})=\cos^{-1} \frac{1-\mathrm{x}^{2}}{1+\mathrm{x}^{2}} নিচের কোনটি সঠিক ?

Barisal · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    i ও iii
  • গ
    ii ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

7.বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — ı. sin⁡−1x+cos⁡−1x=π2\ii. tan⁡−1x+tan⁡−1y=tan⁡−1x−y1+xy\iii. 3sin⁡−1x=sin⁡−1(3x−4x3)\begin{array}{l}\text{\i. } \sin^{-1} x+\cos^{-1} x=\frac{\pi}{2}\text{\ii. } \tan^{-1} x+\tan^{-1} y=\tan^{-1} \frac{x-y}{1+x y}\text{\iii. } 3 \sin^{-1} x=\sin^{-1}\left(3 x-4 x^{3}\right)\end{array} নিচের কোনটি সঠিক ?

Chittagong · 2017

  • ক
    i ও ii
  • খ
    ii ও iii
  • গ
    i ও iii
  • ঘ
    i, ii ও iii

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

8.2cos⁡θ−1=02 \cos \theta-1=0 হলে θ= ? \theta=\text{ ? }

Barisal · 2017

  • ক
    2nπ±π62 n \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • খ
    nπ±π6\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{6}
  • গ
    nπ±π3\mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}
  • ঘ
    2nπ±π32 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

9.2cos⁡θ5+1=02 \cos \frac{\theta}{5}+1=0 এর সাধারণ সমাধান কোনটি?

Jessore · 2017

  • ক
    (2n+1)5π3(2 n+1) \frac{5 \pi}{3}
  • খ
    (2n+1)10π3(2 n+1) \frac{10 \pi}{3}
  • গ
    10nπ±10π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{10 \pi}{3}
  • ঘ
    10nπ±6π310 \mathrm{n} \pi \pm \frac{6 \pi}{3}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

10.θ=(2n+1)π,n∈Z\theta=(2 n+1) \pi, n \in \mathbb{Z} হবে যখন-

Chittagong · 2017

  • ক
    sin⁡θ=1\sin \theta=1
  • খ
    cos⁡θ=1\cos \theta=1
  • গ
    sin⁡θ=−1\sin \theta=-1
  • ঘ
    cos⁡θ=−1\cos \theta=-1

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

11.sin⁡2θ+3sin⁡θ=0\sin 2 \theta+3 \sin \theta=0 হলে θ\theta এর মান কোনটি?

Dinajpur · 2017

  • ক
    (2n+1)π(2 n+1) \pi
  • খ
    (4n+1)π2(4 n+1) \frac{\pi}{2}
  • গ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}
  • ঘ
    nπ\mathrm{n} \pi

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

12.sin⁡x+cos⁡x=0\sin x+\cos x=0 এবং n∈Z\mathbf{n} \in \mathbb{Z} হলে x এর মান কোনটি?

Rajshahi · 2017

  • ক
    nπ\mathrm{n} \pi
  • খ
    nπ−π4\mathrm{n} \pi-\frac{\pi}{4}
  • গ
    nπ+π4\mathrm{n} \pi+\frac{\pi}{4}
  • ঘ
    (2n+1)π2(2 n+1) \frac{\pi}{2}

উত্তর ও ব্যাখ্যা দেখতে ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো

ফ্রি শুরু করো

আরো প্রশ্ন দেখো

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] এবং [গনিচের তথ্যের ভিত্তিতে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণটির সমাধান [গণিত] হলে [গনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে y-এর মান কনিচের উদ্দীপকের আলোকে প্রশ্নের উত্তর দাও : [গণিত] সমীকরণে— [গণিত] হলে x এর মান ক[গণিত] হলে- i. [গণিত] এর মূখ্যমান [গণিত] ii. [গণিত] iii. [গণিত] যখন [গণিত] নিচের[গণিত] হলে - [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে — [গণিত] নিচের কোনটি সঠিক ?[গণিত] হলে [গণিত][গণিত] এর সাধারণ সমাধান কোনটি?[গণিত] হবে যখন-[গণিত] হলে [গণিত] এর মান কোনটি?[গণিত] এবং [গণিত] হলে x এর মান কোনটি?

আরো হাজারো প্রশ্ন + মডেল টেস্ট

ফ্রি রেজিস্ট্রেশন করো — ফেভারিট, AI টিউটর, লিডারবোর্ড ও অ্যানালিটিক্স আনলক করো।

ফ্রি শুরু করোলগইন